Considere um triângulo cujos vértices são
e
.
Ache os três ângulos internos do triângulo.
[Dica: Para usar o produto vetorial considere as coordenadas
dos vértices iguais a 0.]
Ache os três ângulos internos do triângulo.
[Dica: Para usar o produto vetorial considere as coordenadas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os três ângulos internos de um triângulo cujos vértices estão nos pontos
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como distância entre pontos e trigonometria para calcular os ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os lados do triângulo. Para isso, precisamos calcular a distância entre cada par de vértices. A fórmula para a distância entre dois pontos
e
é:
Vamos chamar os vértices de A
, B
e C
.
Passo 3
Calculando a distância entre A e B:
Passo 4
Calculando a distância entre B e C:
Passo 5
Calculando a distância entre C e A:
Passo 6
Agora que temos os comprimentos dos lados, podemos usar a Lei dos Cossenos para encontrar os ângulos. A Lei dos Cossenos é dada por:
Onde
é o ângulo oposto ao lado
.
Passo 7
Vamos calcular o ângulo em A primeiro. O lado oposto a A é BC, que tem comprimento
. Os outros dois lados são AB e CA, ambos com comprimento
.
Aplicando a Lei dos Cossenos:
Então,
.
Passo 8
Agora, vamos calcular o ângulo em B. O lado oposto a B é CA, que tem comprimento
. Os outros dois lados são AB (
) e BC (
).
Aplicando a Lei dos Cossenos:
Então,
.
Passo 9
Por fim, vamos calcular o ângulo em C. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é
. Então:
Resposta
Os três ângulos internos do triângulo são aproximadamente
,
e
.