Considere um triângulo cujos vértices são (3,1),(5,-2) e (6,3).
Ache os três ângulos internos do triângulo.
[Dica: Para usar o produto vetorial considere as coordenadas z dos vértices iguais a 0.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os três ângulos internos de um triângulo cujos vértices estão nos pontos (3,1), (5,-2) e (6,3). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como distância entre pontos e trigonometria para calcular os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os lados do triângulo. Para isso, precisamos calcular a distância entre cada par de vértices. A fórmula para a distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Vamos chamar os vértices de A (3,1), B (5,-2) e C (6,3).

Passo 3

Calculando a distância entre A e B:
AB = raiz(5 - 3)^2 + (-2 - 1)^2 = raiz2^2 + (-3)^2 = raiz4 + 9 = raiz13 approx 3,605

Passo 4

Calculando a distância entre B e C:
BC = raiz(6 - 5)^2 + (3 - (-2))^2 = raiz1^2 + 5^2 = raiz1 + 25 = raiz26 approx 5,099

Passo 5

Calculando a distância entre C e A:
CA = raiz(6 - 3)^2 + (3 - 1)^2 = raiz3^2 + 2^2 = raiz9 + 4 = raiz13 approx 3,605

Passo 6

Agora que temos os comprimentos dos lados, podemos usar a Lei dos Cossenos para encontrar os ângulos. A Lei dos Cossenos é dada por:
cos(theta) = b^2 + c^2 - a^22bc
Onde theta é o ângulo oposto ao lado a.

Passo 7

Vamos calcular o ângulo em A primeiro. O lado oposto a A é BC, que tem comprimento raiz26. Os outros dois lados são AB e CA, ambos com comprimento raiz13.
Aplicando a Lei dos Cossenos:
cos(A) = (raiz13)^2 + (raiz13)^2 - (raiz26)^22 times raiz13 times raiz13 = 13 + 13 - 262 times 13 = 026 = 0
Então, A = arccos(0) = 90^circ.

Passo 8

Agora, vamos calcular o ângulo em B. O lado oposto a B é CA, que tem comprimento raiz13. Os outros dois lados são AB ( raiz13) e BC ( raiz26).
Aplicando a Lei dos Cossenos:
cos(B) = (raiz13)^2 + (raiz26)^2 - (raiz13)^22 times raiz13 times raiz26 = 13 + 26 - 132 times raiz338 = 262 times 18,38 approx 2636,76 approx 0,707
Então, B = arccos(0,707) approx 45^circ.

Passo 9

Por fim, vamos calcular o ângulo em C. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^circ. Então:
C = 180^circ - A - B = 180^circ - 90^circ - 45^circ = 45^circ

Resposta

Os três ângulos internos do triângulo são aproximadamente 90^circ, 45^circ e 45^circ.

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