Dada a função
, faça o gráfico das curvas das famílias
, para diferentes valores das constantes
e
, e observe que estas curvas se cruzam em ângulo reto.
Passo 1
O enunciado quer que a gente desenhe as curvas de nível das funções reais
onde
e
. O conteúdo é identificação de curvas de nível no plano
e observar que elas se cruzam em ângulo reto (são ortogonais).
Passo 2
Escrevendo
e separando parte real e imaginária, temos
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Passo 3
As curvas de nível são dadas por
que são hipérboles com assíntotas
, abertas ao longo dos eixos
(se
) ou
(se
); e
que também são hipérboles, mas giradas em
, com ramos em quadrantes opostos conforme o sinal de
.
Passo 4
Para vários valores de
(por exemplo
) desenhamos hipérboles com eixos alinhados a
e
. Para vários
(por exemplo
) desenhamos hipérboles cujos assíntotas são os eixos
e
. No gráfico as familias se entrelaçam formando uma malha de hipérboles cruzando em pontos de interseção.
Passo 5
Uma forma de ver a ortogonalidade: os gradientes são
O produto escalar é
ou seja, em todo ponto interno as curvas de nível são ortogonais.
Resposta
As curvas
são hipérboles
e as curvas
são hipérboles
.
Calculando , conclui-se que elas se cruzam sempre em ângulo reto.
Calculando