Dada a função w=z^2=u+i v, faça o gráfico das curvas das famílias u(x, y)=c1 e v(x, y)=c2, para diferentes valores das constantes c1 e c2, e observe que estas curvas se cruzam em ângulo reto.

Passo 1

O enunciado quer que a gente desenhe as curvas de nível das funções reais
u(x,y)=Re(w)=c1 e v(x,y)=Im(w)=c2,
onde w=z^2 e z=x+iy. O conteúdo é identificação de curvas de nível no plano (x,y) e observar que elas se cruzam em ângulo reto (são ortogonais).

Passo 2

Escrevendo w=(x+iy)^2 e separando parte real e imaginária, temos
w = x^2-y^2 ;+; i,(2xy)
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u(x,y)=x^2-y^2, v(x,y)=2,x,y

Passo 3

As curvas de nível são dadas por
u=c1;Longrightarrow;x^2-y^2=c1,
que são hipérboles com assíntotas y=pm x, abertas ao longo dos eixos x (se c1>0) ou y (se c1<0); e
v=c2;Longrightarrow;2xy=c2 ;Longrightarrow; xy=tfracc22,
que também são hipérboles, mas giradas em 45^circ, com ramos em quadrantes opostos conforme o sinal de c2.

Passo 4

Para vários valores de c1 (por exemplo c1=1,0,-1) desenhamos hipérboles com eixos alinhados a x e y. Para vários c2 (por exemplo c2=1,0,-1) desenhamos hipérboles cujos assíntotas são os eixos x e y. No gráfico as familias se entrelaçam formando uma malha de hipérboles cruzando em pontos de interseção.

Passo 5

Uma forma de ver a ortogonalidade: os gradientes são
nabla u=(2x,,-2y), nabla v=(2y,,2x)
O produto escalar é
nabla ucdotnabla v =2xcdot2y + (-2y)cdot2x =4xy-4xy=0,
ou seja, em todo ponto interno as curvas de nível são ortogonais.

Resposta

As curvas u=c1 são hipérboles x^2-y^2=c1 e as curvas v=c2 são hipérboles xy=c2/2.
Calculando nabla ucdotnabla v=0, conclui-se que elas se cruzam sempre em ângulo reto.

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