Considere o triângulo:
Num dado instante temos que
e
.
Se o comprimento
e o ângulo
aumentam a uma taxa de
e
, respectivamente, e o comprimento y diminui a uma taxa de
, determine a taxa de variação da área deste triângulo em relação ao tempo.
Num dado instante temos que
Se o comprimento
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um triângulo onde os lados $ x $ e $ y $ e o ângulo $ \theta $ entre eles estão mudando com o tempo. Nosso objetivo é descobrir como a área desse triângulo está variando naquele instante específico. Para resolver isso, vamos usar cálculos de derivadas relacionadas, que nos ajudam a encontrar taxas de variação quando várias quantidades estão mudando simultaneamente.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula da área de um triângulo quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles. A fórmula é:
Aqui, $ A $ é a área, $ x $ e $ y $ são os lados, e $ \theta $ é o ângulo entre eles.
Passo 3
Agora, queremos descobrir como a área $ A $ está mudando com o tempo, ou seja, encontrar $ \frac{dA}{dt} $. Para isso, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo $ t $:
Explicando cada termo:
- $ \frac{dx}{dt} $ é a taxa de variação de $ x $ com o tempo.
- $ \frac{dy}{dt} $ é a taxa de variação de $ y $ com o tempo.
- $ \frac{d\theta}{dt} $ é a taxa de variação do ângulo $ \theta $ com o tempo.
Passo 4
Vamos agora substituir os valores fornecidos no problema:
- $ x = 40 $ cm
- $ y = 50 $ cm
- $ \theta = \frac{\pi}{6} $ rad
- $ \frac{dx}{dt} = 3 $ cm/s
- $ \frac{dy}{dt} = -2 $ cm/s (negativo porque $ y $ está diminuindo)
- $ \frac{d\theta}{dt} = 0,05 $ rad/s
Primeiro, calculamos $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $ e $ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Substituindo na fórmula:
Calculando cada termo:
- $ 3 \cdot 50 \cdot \frac{1}{2} = 75 $
- $ 40 \cdot (-2) \cdot \frac{1}{2} = -40 $
- $ 40 \cdot 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0,05 = 40 \cdot 50 \cdot 0,8660 \cdot 0,05 = 86,6 $
Somando tudo:
Resposta
A taxa de variação da área do triângulo é de aproximadamente $ 60,8 , cm^2/s $.