Considere o triângulo:
Num dado instante temos que x=40 cm, y=50 cm e theta=pi6 rad.
Se o comprimento x e o ângulo theta aumentam a uma taxa de 3 cm / s e 0,05 rad / s, respectivamente, e o comprimento y diminui a uma taxa de 2 cm / s, determine a taxa de variação da área deste triângulo em relação ao tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um triângulo onde os lados $ x $ e $ y $ e o ângulo $ \theta $ entre eles estão mudando com o tempo. Nosso objetivo é descobrir como a área desse triângulo está variando naquele instante específico. Para resolver isso, vamos usar cálculos de derivadas relacionadas, que nos ajudam a encontrar taxas de variação quando várias quantidades estão mudando simultaneamente.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula da área de um triângulo quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles. A fórmula é:
A = 12 x y sin(theta)
Aqui, $ A $ é a área, $ x $ e $ y $ são os lados, e $ \theta $ é o ângulo entre eles.

Passo 3

Agora, queremos descobrir como a área $ A $ está mudando com o tempo, ou seja, encontrar $ \frac{dA}{dt} $. Para isso, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo $ t $:
A
Explicando cada termo:
  • $ \frac{dx}{dt} $ é a taxa de variação de $ x $ com o tempo.
  • $ \frac{dy}{dt} $ é a taxa de variação de $ y $ com o tempo.
  • $ \frac{d\theta}{dt} $ é a taxa de variação do ângulo $ \theta $ com o tempo.

Passo 4

Vamos agora substituir os valores fornecidos no problema:
  • $ x = 40 $ cm
  • $ y = 50 $ cm
  • $ \theta = \frac{\pi}{6} $ rad
  • $ \frac{dx}{dt} = 3 $ cm/s
  • $ \frac{dy}{dt} = -2 $ cm/s (negativo porque $ y $ está diminuindo)
  • $ \frac{d\theta}{dt} = 0,05 $ rad/s
Primeiro, calculamos $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $ e $ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Substituindo na fórmula:
x = 40
Calculando cada termo:
  1. $ 3 \cdot 50 \cdot \frac{1}{2} = 75 $
  2. $ 40 \cdot (-2) \cdot \frac{1}{2} = -40 $
  3. $ 40 \cdot 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0,05 = 40 \cdot 50 \cdot 0,8660 \cdot 0,05 = 86,6 $
Somando tudo:
y = 50

Resposta

A taxa de variação da área do triângulo é de aproximadamente $ 60,8 , cm^2/s $.

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