Considere um triângulo equilátero. Faça o eixo
coincidir com um dos lados do triângulo, sendo a origem
dos vértices do triângulo. Oriente vetores ao longo dos lados do triângulo no sentido anti-horário. Usando o método da soma vetorial verifique que a soma vetorial destes vetores é igual a zero (isto é verdade para a soma de vetores ao longo de uma poligonal fechada). Usando a decomposição vetorial destes vetores ao longo dos eixos
e
, mostre que:
A utilização do método da indução finita (ou de qualquer outro método) pode conduzir à generalização đo resultado acima obtido para um triângulo equilátero. Generalize este resultado para um poligono regular com um número de lados igual a
e obtenha uma relação: (a) para a soma dos cossenos dos ângulos formados entre os vetores consecutivos do lado do polígono e o eixo
, (b) para a soma dos senos destes ângulos.
Passo 1
O enunciado considera um triângulo equilátero de lado
e pede para mostrar, usando soma vetorial fechada e decomposição em eixos, que
Depois, generalizar para um polígono regular de
lados, obtendo fórmulas para
e
, onde
são os ângulos que cada lado faz com o eixo
.
Passo 2
Denotemos por
os vetores correspondentes aos três lados do triângulo, orientados no sentido anti-horário e com ponto inicial de cada vetor coincidindo com o ponto final do anterior. Escolhendo o eixo
ao longo de
e a origem em um vértice, temos
Passo 3
Por ser um polígono fechado, a soma vetorial dá zero:
Decompondo em componentes
e
segue que
Dividindo por
e lembrando
,
, obtemos
Passo 4
Para um polígono regular de
lados de comprimento
, rotacionamos o primeiro lado em passos de
. Os vetores são
Pela mesma razão de fechamento,
. Assim, as componentes satisfazem
Dividindo por
resulta na generalização desejada.
Resposta
Para um triângulo equilátero:
Para um polígono regular de
lados: