Considere um triângulo equilátero. Faça o eixo O x coincidir com um dos lados do triângulo, sendo a origem O um dos vértices do triângulo. Oriente vetores ao longo dos lados do triângulo no sentido anti-horário. Usando o método da soma vetorial verifique que a soma vetorial destes vetores é igual a zero (isto é verdade para a soma de vetores ao longo de uma poligonal fechada). Usando a decomposição vetorial destes vetores ao longo dos eixos O x e O y, mostre que:
& 1+cos 120^circ+cos 240^circ=0 & sen 120^circ+sen 240^circ=0
A utilização do método da indução finita (ou de qualquer outro método) pode conduzir à generalização đo resultado acima obtido para um triângulo equilátero. Generalize este resultado para um poligono regular com um número de lados igual a N e obtenha uma relação: (a) para a soma dos cossenos dos ângulos formados entre os vetores consecutivos do lado do polígono e o eixo O x, (b) para a soma dos senos destes ângulos.

Passo 1

O enunciado considera um triângulo equilátero de lado a e pede para mostrar, usando soma vetorial fechada e decomposição em eixos, que
1 + cos 120^circ + cos 240^circ = 0 e sin 120^circ + sin 240^circ = 0
Depois, generalizar para um polígono regular de N lados, obtendo fórmulas para
sumcosthetak e sumsinthetak, onde thetak são os ângulos que cada lado faz com o eixo O x.

Passo 2

Denotemos por vec v1,vec v2,vec v3 os vetores correspondentes aos três lados do triângulo, orientados no sentido anti-horário e com ponto inicial de cada vetor coincidindo com o ponto final do anterior. Escolhendo o eixo O x ao longo de vec v1 e a origem em um vértice, temos
vec v1 = a,(1,0), vec v2 = a,(cos 120^circ,sin 120^circ), vec v3 = a,(cos 240^circ,sin 240^circ)

Passo 3

Por ser um polígono fechado, a soma vetorial dá zero:
vec v1 + vec v2 + vec v3 = vec 0
Decompondo em componentes x e y segue que
acos 0^circ + acos 120^circ + acos 240^circ = 0, asin 0^circ + asin 120^circ + asin 240^circ = 0
Dividindo por a e lembrando cos0^circ=1, sin0^circ=0, obtemos
1 + cos 120^circ + cos 240^circ = 0, sin 120^circ + sin 240^circ = 0

Passo 4

Para um polígono regular de N lados de comprimento a, rotacionamos o primeiro lado em passos de tfrac2piN. Os vetores são
vec vk = al(costhetak,sinthetakr), thetak = 2pi kN,;k=0,1,dots,N-1
Pela mesma razão de fechamento,
sumk=0^N-1vec vk=vec0. Assim, as componentes satisfazem
sumk=0^N-1acosthetak = 0, sumk=0^N-1asinthetak = 0
Dividindo por a resulta na generalização desejada.

Resposta

Para um triângulo equilátero:
1 + cos 120^circ + cos 240^circ = 0, sin 120^circ + sin 240^circ = 0
Para um polígono regular de N lados:
sumk=0^N-1cosl(tfrac2pi kNr)=0, sumk=0^N-1sinl(tfrac2pi kNr)=0

Exercícios relacionados