Determine os limites das seguintes sequiências:
43) lim n infty(n+3n)^n

Passo 1

A questão pede para calcular o limite da sequência l(n+3nr)^n quando ntoinfty. O conteúdo envolve limites de sequências do tipo (1 + xn)^1/xn, e para resolver vamos usar a técnica de tomar logaritmo e o limite fundamental (1 + t/n)^nto e^t.

Passo 2

Vamos reescrever a sequência de modo mais conveniente para aplicar o logaritmo. Definindo
an = (n+3n)^n = (1 + 3n)^n
ficamos com uma forma padrão.

Passo 3

Aplicamos o logaritmo natural em an:
ln(an) = n lnl(1 + 3nr)
Agora nosso objetivo é calcular limntoinfty ln(an).

Passo 4

Para encontrar limntoinfty n ln(1 + 3/n), usamos a expansão de primeira ordem de ln(1+x) quando xto0: ln(1+x)approx x. Aqui x=3/nto0, então
n lnl(1 + 3nr) approx n cdot 3n = 3
Formalmente, isso mostra que
limntoinfty ln(an) = 3

Passo 5

Como ln(an)to3, concluímos que anto e^3. Portanto, o limite pedido é e^3.

Resposta

e^3

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