Utilize resíduos para calcular cada uma das integrais seguintes:
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral complexa usando resíduos. A fórmula que a gente vai usar é:
Onde $ f(z) = \frac{e^{z}}{(z+1) \sin z} $. A matéria envolvida aqui é Análise Complexa, mais especificamente o Teorema dos Resíduos, que ajuda a calcular integrais complexas encontrando os resíduos das funções dentro do caminho de integração. Vamos precisar identificar os pontos onde a função $ f(z) $ tem singularidades (pontos onde ela não é analítica) dentro do círculo de raio 2 centrado na origem, e aí calcular os resíduos nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função $ f(z) $ tem singularidades. Olhando para $ f(z) = \frac{e^{z}}{(z+1) \sin z} $, vemos que as possíveis singularidades acontecem quando o denominador é zero, ou seja:
- $ z + 1 = 0 $
$ z = -1 $ - $ \sin z = 0 $
$ z = n\pi $, onde $ n $ é um inteiro.
Dentro do círculo $ |z| = 2 $, os valores de $ z $ que satisfazem essas equações são:
- $ z = -1 $ (porque
) - $ z = 0 $ (porque
) - $ z = \pi $ (~3.14) está fora do círculo, então não consideramos.
Então, temos duas singularidades dentro do caminho de integração: $ z = -1 $ e $ z = 0 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular os resíduos nesses pontos.
Residuo em $ z = -1 $:
Aqui, $ z = -1 $ é um polo simples, porque o denominador $ (z + 1) $ é linear. Para calcular o resíduo, usamos a fórmula para polos simples:
Substituindo $ z = -1 $:
Residuo em $ z = 0 $:
Em $ z = 0 $, também temos um polo simples, já que $ \sin z $ se comporta como $ z $ perto de 0. Usamos a mesma fórmula:
Passo 4
Agora que temos os resíduos, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é igual a $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos dentro do caminho de integração. Porém, como a nossa integral está multiplicada por $ \frac{1}{2\pi i} $, vamos ajustar isso:
Substituindo os resíduos que calculamos:
Resposta
A integral é igual a $ 1 - \frac{e^{-1}}{\sin 1} $.