A resultante de uma soma vetorial de dois vetores possui módulo igual a 4 m O módulo de um dos vetores componentes é igual a 2 m e o ângulo entre os dois vetores componentes é igual a 60^circ. Calcule o módulo do outro vetor componente.

Passo 1

O enunciado dá que a soma vetorial de dois vetores tem módulo igual a 4 m, um dos vetores tem módulo 2 m e o ângulo entre eles é 60°. O conteúdo que vamos usar é a fórmula para o módulo da soma de dois vetores, que é análoga à lei dos cossenos: podemos escrever a relação entre as magnitudes e o ângulo para encontrar o módulo desconhecido do outro vetor.

Passo 2

A fórmula para o módulo da resultante R de dois vetores de módulos A e B com ângulo θ entre eles é
R^2 = A^2 + B^2 + 2ABcostheta
Substituindo R=4, A=2 e θ=60° (onde cos60°=tfrac12), temos
4^2 = 2^2 + B^2 + 2cdot2cdot B cdot tfrac12
que simplifica para
16 = 4 + B^2 + 2B
e assim chegamos à equação quadrática
B^2 + 2B - 12 = 0

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática B^2 + 2B -12=0 usando a fórmula de Bhaskara:
B = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot(-12)2 = -2 pm raiz4 + 482 = -2 pm raiz522 = -1 pm raiz13
Como o módulo deve ser positivo, escolhemos
B = -1 + raiz13 approx 2,606 m

Resposta

-1 + raiz13 approx 2,606 m

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