Considere o triângulo no espaço de vértices A=(-5,-1,5), B=(-4,-4,5) e C=(-5,3,4). O ponto M encontra-se no segmento B C e obedece B M=B C3. Calcule a área do triângulo A C M.
Escreva a resposta com duas casas decimais. Por exemplo, 2 / 3 approx 0,67.
Consideraremos uma tolerância de 0,01.
Resposta: square

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A=(-5,-1,5), B=(-4,-4,5) e C=(-5,3,4).
O ponto M está em BC e satisfaz BM=tfrac13,BC.
Para achar a área do triângulo ACM usaremos coordenadas e a fórmula
Área = 12llVert ACtimes AMrrVert Á

Passo 2

Calculamos primeiro
BC=C-B=l(-5-(-4),,3-(-4),,4-5r)=(-1,7,-1)
Como BM=tfrac13,BC,
BM=l(-tfrac13,tfrac73,-tfrac13r)
e assim
M=B+BM =l(-4,-4,5r)+l(-tfrac13,tfrac73,-tfrac13r) =l(-tfrac133,,-tfrac53,,tfrac143r)

Passo 3

Agora formamos os vetores
AC=C-A =l(-5-(-5),,3-(-1),,4-5r) =(0,4,-1),
AM=M-A =l(-tfrac133-(-5),,-tfrac53-(-1),,tfrac143-5r) =l(tfrac23,,-tfrac23,,-tfrac13r)

Passo 4

O produto vetorial é
ACtimesAM =l(4cdot(-tfrac13)-(-1)cdot(-tfrac23),; (-1)cdottfrac23-0cdot(-tfrac13),; 0cdot(-tfrac23)-4cdottfrac23r) =(-2,,-tfrac23,,-tfrac83)
O módulo vale
llVert ACtimesAMrrVert =raiz(-2)^2+l(-tfrac23r)^2+l(-tfrac83r)^2 =raiz1043 =2raiz263

Passo 5

A área do triângulo é metade desse módulo:
Área =12cdot2raiz263 =raiz263 approx 1,70 Á

Resposta

1,70

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