Obtenha o plano que contém a reta r=(1,1,0)+t(2, 1,2), t in R e é paralelo à reta s:(x, y, z)=(-1+2 t, t,- 3+t ).

Passo 1

O enunciado pede o plano que contém a reta
r:;(x,y,z)=(1,1,0)+t,(2,1,2),;tinR
e que seja paralelo à reta
s:;(x,y,z)=(-1,0,-3)+t,(2,1,1),;tinR
O conteúdo é geometria analítica no espaço: vamos usar vetores diretores e produto vetorial para achar a normal do plano.

Passo 2

Identificamos em r um ponto A=(1,1,0) e um vetor diretor
v1=(2,1,2)
Em s temos vetor diretor
v2=(2,1,1)
Como o plano deve conter r e ser paralelo a s, ambos v1 e v2 são vetores paralelos ao plano.

Passo 3

Para obter o plano precisamos de um vetor normal n perpendicular a v1 e a v2. Calculamos
n = v1 times v2

Passo 4

Computando o produto vetorial:
v1 times v2 = (2,1,2)times(2,1,1) = l(1cdot1 - 2cdot1,;-(2cdot1 - 2cdot2),;2cdot1 - 1cdot2r) = (-1,2,0)
Podemos usar também n=(1,-2,0), multiplicando por -1, pois define o mesmo plano.

Passo 5

A equação de um plano com normal n=(1,-2,0) que passa por A=(1,1,0) é
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0
Isto é,
1,(x-1)-2,(y-1)+0,(z-0)=0 Longrightarrow x-1-2y+2=0 Longrightarrow x-2y+1=0

Resposta

A equação do plano é
boxedx - 2y + 1 = 0

Exercícios relacionados