Considere o triângulo formado pelos pontos a seguir, determinar se o triângulo (2,3), (5, -2), (4, -4) é um triângulo retângulo.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com vértices em (2,3), (5,-2) e (4,-4) e pede para verificar se ele é retângulo. O conteúdo que vamos usar é a geometria analítica de distância entre pontos no plano e o critério de Pitágoras: um triângulo é retângulo se, e somente se, o quadrado do maior lado for igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.

Passo 2

Vamos calcular os quadrados dos comprimentos dos três lados. Denotando A=(2,3), B=(5,-2) e C=(4,-4):
AB^2 = (xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 = (5 - 2)^2 + (-2 - 3)^2 = 3^2 + (-5)^2 = 9 + 25 = 34
BC^2 = (xC - xB)^2 + (yC - yB)^2 = (4 - 5)^2 + (-4 - (-2))^2 = (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5
AC^2 = (xC - xA)^2 + (yC - yA)^2 = (4 - 2)^2 + (-4 - 3)^2 = 2^2 + (-7)^2 = 4 + 49 = 53

Passo 3

Os quadrados dos lados são 34, 5 e 53. O maior é 53. Para ser retângulo precisaríamos de
53 ;=; 34 + 5 ;=; 39,
mas 53 neq 39. Como nenhum outro par satisfaz a relação de Pitágoras, o triângulo não é retângulo.

Resposta

O triângulo com vértices (2,3), (5,-2) e (4,-4) não é um triângulo retângulo.

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