Para a função f(x, y)=raizy-x^2, faça o que se pede:
Descreva as curvas de nível da função f

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x,y)=raizy - x^2
e pede para descrevê-las curvas de nível, ou seja, os conjuntos
(x,y)mid f(x,y)=c
para cada valor de c. Vamos usar a definição de curva de nível e analisar o domínio de f.

Passo 2

Antes de tudo, note que para a raiz quadrada ser real precisamos de
y - x^2>= 0,
ou seja, o domínio de f é
D = (x,y)mid y>= x^2

Passo 3

Para um valor fixo c, a curva de nível f(x,y)=c satisfaz
raizy - x^2 = c
Elevando ao quadrado, obtemos
y - x^2 = c^2
e, portanto, a curva de nível é dada por
y = x^2 + c^2

Passo 4

Como f(x,y)>= 0 (é raiz), só existem curvas de nível para c>= 0. Para cada c<0 não há pontos no domínio com f(x,y)=c.

Passo 5

Logo, as curvas de nível de f formam a família de parábolas
y = x^2 + c^2, c>= 0,
isto é, parábolas de concavidade para cima, deslocadas verticalmente por c^2. À medida que c aumenta, a parábola “sobe” no plano.

Resposta

As curvas de nível de f para cada c>= 0 são as parábolas
y = x^2 + c^2,
e para c<0 não existem curvas de nível.

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