O determinante de uma matriz triangular An times n é igual ao produto dos elementos de sua diagonal.

Passo 1

O enunciado afirma que, para toda matriz triangular AinR^ntimes n, o determinante de A é igual ao produto dos seus elementos diagonais. O conteúdo aqui é a definição de determinante via expansão por cofatores e um argumento por indução sobre n. Vamos usar a expansão de Laplace num local onde todos os cofatores, exceto um, sejam nulos, abraçando o passo de indução.

Passo 2

Base da indução: n=1.
Uma matriz triangular 1times1 é simplesmente l(a11r). Por definição
detl([a11]r)=a11,
que de fato é o produto dos seu único elemento diagonal.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para toda matriz triangular de ordem n-1, o determinante é o produto dos elementos da sua diagonal.

Passo 4

Indutivo (passo de indução): seja A=(aij) uma matriz triangular de ordem n. Sem perda de generalidade, consideremos uma matriz triangular superior (o caso inferior é análogo). Então aij=0 para i>j. Ao expandir det(A) pela última linha (linha n), todos os cofatores vêm multiplicados de elementos nulos, exceto o oblíquo ann. Assim,
det(A) =sumj=1^n(-1)^n+j,anj,det(Mnj) =underbrace(-1)^n+n,ann,det(Mnn)único termo não nulo =ann,det(Mnn), úã
onde Mnn é o menor removendo a linha n e coluna n. Note que Mnn é triangular superior de ordem n-1. Pelo passo de indução,
det(Mnn) =prodi=1^n-1aii
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det(A) =ann,prodi=1^n-1aii =prodi=1^naii

Passo 5

Concluímos, por indução, que para toda matriz triangular (superior ou inferior) de ordem n vale
det(A) =prodi=1^naii

Resposta

O determinante de uma matriz triangular Antimes n é exatamente o produto dos elementos da sua diagonal, ou seja,
det(A)=prodi=1^naii

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