O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos de sua diagonal.
Passo 1
O enunciado afirma que, para toda matriz triangular , o determinante de é igual ao produto dos seus elementos diagonais. O conteúdo aqui é a definição de determinante via expansão por cofatores e um argumento por indução sobre . Vamos usar a expansão de Laplace num local onde todos os cofatores, exceto um, sejam nulos, abraçando o passo de indução.
Passo 2
Base da indução: .
Uma matriz triangular é simplesmente . Por definição
que de fato é o produto dos seu único elemento diagonal.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que, para toda matriz triangular de ordem , o determinante é o produto dos elementos da sua diagonal.
Passo 4
Indutivo (passo de indução): seja uma matriz triangular de ordem . Sem perda de generalidade, consideremos uma matriz triangular superior (o caso inferior é análogo). Então para . Ao expandir pela última linha (linha ), todos os cofatores vêm multiplicados de elementos nulos, exceto o oblíquo . Assim,
onde Mnn é o menor removendo a linha n e coluna n. Note que Mnn é triangular superior de ordem n-1. Pelo passo de indução,
det(Mnn) =prodi=1^n-1aii
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det(A) =ann,prodi=1^n-1aii =prodi=1^naii
Passo 5
Concluímos, por indução, que para toda matriz triangular (superior ou inferior) de ordem n vale
det(A) =prodi=1^naii
Resposta
O determinante de uma matriz triangular Antimes n é exatamente o produto dos elementos da sua diagonal, ou seja,