Considere o triângulo de vértices A(3,-1,-1), B(1,2,-7) e C(-5,-14,-3). Determine a equação da:
reta que contém a bissetriz do ângulo com vértice no ponto B.

Passo 1

Temos o triângulo com vértices A(3,-1,-1), B(1,2,-7) e C(-5,-14,-3). Queremos a reta que passa por B e divide ao meio o ângulo ang<= ABC. Para isso, vamos usar o fato de que a direção da bissetriz interna em um vértice é dada pela soma dos vetores unitários ao longo de cada lado que incide nesse vértice.

Passo 2

Calculamos os vetores BA e BC:
BA = A - B = (3-1,,-1-2,,-1+7) = (2,,-3,,6),
BC = C - B = (-5-1,,-14-2,,-3+7) = (-6,,-16,,4)

Passo 3

Encontramos as normas desses vetores:
|BA| = raiz2^2 + (-3)^2 + 6^2 = raiz49 = 7,
|BC| = raiz(-6)^2 + (-16)^2 + 4^2 = raiz308 = 2raiz77

Passo 4

Formamos os vetores unitários na direção de BA e BC:
uBA = 17(2,,-3,,6), uBC = 12raiz77(-6,,-16,,4) = l(-tfrac3raiz77,,-tfrac8raiz77,tfrac2raiz77r)

Passo 5

A direção da bissetriz interna é o vetor soma
d = uBA + uBC = l(tfrac27-tfrac3raiz77,;-tfrac37-tfrac8raiz77,;tfrac67+tfrac2raiz77r)
Para eliminar denominadores podemos multiplicar por 7raiz77, obtendo um vetor paralelo
D = l(2raiz77-21,,-3raiz77-56,;6raiz77+14r)

Passo 6

Assim, a reta da bissetriz que passa por B(1,2,-7) tem a forma paramétrica
x = 1 + (2raiz77-21),t, y = 2 + (-3raiz77-56),t, z = -7 + (6raiz77+14),t,
ou, em forma simétrica,
x-12raiz77-21 ;=;y-2-3raiz77-56;=;z+76raiz77+14

Resposta

A reta bissetriz no vértice B é dada por
x-12raiz77-21 ;=;y-2-3raiz77-56;=;z+76raiz77+14

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