Considere o triângulo de vértices A(3,-1,-1), B(1,2,-7) e C(-5,-14,-3). Determine a equação da:
reta que contém a altura relativa ao lado A C.

Passo 1

O enunciado nos dá o triângulo de vértices A(3,-1,-1), B(1,2,-7) e C(-5,-14,-3), e pede a reta que contém a altura relativa ao lado AC. Isso significa a reta que passa por B e é perpendicular à reta que passa por A e C. Vamos usar geometria vetorial em R^3: produto vetorial para obter um vetor normal ao plano e, em seguida, extrair o vetor de direção da altura.

Passo 2

Calculamos os vetores
AB = B - A = (1-3,;2+1,;-7+1) = (-2,,3,,-6),
AC = C - A = (-5-3,;-14+1,;-3+1) = (-8,,-13,,-2)

Passo 3

O vetor normal ao plano (ABC) é
n = ABtimes AC = i & j & k -2 & 3 & -6 -8 & -13 & -2 = (-84,,44,,50)
Podemos simplificar dividindo por 2: n=(-42,,22,,25).

Passo 4

A direção da altura é o vetor em (ABC) perpendicular a AC, dado por
d = ntimes AC = i & j & k -42 & 22 & 25 -8 & -13 & -2 = (281,,-284,,722)

Passo 5

A reta buscada passa por e tem vetor direção . Assim sua forma paramétrica é

Resposta

Reta: (x,y,z) = (1,2,-7) + t,(281,-284,722), tinR

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