Identifique cada um dos conjuntos de pontos dados.
|z-i|+|z+2|=3

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos
,zinCmid |z - i| + |z + 2| = 3
Em termos de geometria no plano complexo, vamos interpretar z = x + i y e reconhecer que uma curva definida pela soma das distâncias a dois pontos fixos constante é uma elipse.

Passo 2

Escrevendo z = x + i y, temos
|z - i| = raizx^2 + (y-1)^2,
|z + 2| = raiz(x+2)^2 + y^2
A condição do enunciado fica
raizx^2 + (y-1)^2 ;+;raiz(x+2)^2 + y^2 ;=; 3

Passo 3

Recordamos que uma elipse é o lugar geométrico dos pontos cujas somas das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante e igual ao comprimento do eixo maior. Aqui os focos são
(0,1)l(que corresponde a ir) e (-2,0)l(que corresponde a -2r),
e a soma dessas distâncias vale 3.

Passo 4

Para garantir que isso realmente forma uma elipse, verificamos que a distância entre os focos é
raiz(0-(-2))^2 + (1-0)^2 = raiz5 < 3,
de modo que a soma das distâncias ( 3) é maior que a distância entre os focos ( raiz5), caracterizando uma elipse com semieixo maior a = tfrac32 e semieixo focal c = tfracraiz52.

Resposta

É uma elipse cujo focos estão nos pontos i e -2 (isto é, em (0,1) e (-2,0)) e cuja soma das distâncias a esses focos é 3.

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