Identifique cada um dos conjuntos de pontos dados.
|z-2+i|+|z| <= 4

Passo 1

O enunciado pede para descrever geometricamente o conjunto
,zinCmid |z-(2 - i)| + |z| <= 4
O conteúdo envolvido é a interpretação de |z - z1| como distância no plano e o fato de que a soma de distâncias a dois pontos fixos sendo constante (ou menor que um valor) define uma elipse (ou a região interior dela).

Passo 2

Chamando A o ponto correspondente a 2 - i e O a origem, temos
|z - (2 - i)| = distância de z a A, |z| = distância de z a O ââ
A condição
|z - A| + |z - O| <= 4
é precisamente a definição de uma elipse fechada com focos em O e A e eixo maior de comprimento 4.

Passo 3

Vamos identificar os parâmetros da elipse:
— Os focos são O=(0,0) e A=(2,-1).
— O comprimento do eixo maior é 2a=4, logo a=2.
— A distância entre os focos é
|A - O| = raiz2^2 + (-1)^2 = raiz5,
portanto 2c=raiz5 e c=tfracraiz52.

Passo 4

O semi-eixo menor b satisfaz
b = raiza^2 - c^2 = raiz4 - tfrac54 = raiz112
O centro da elipse é o ponto médio dos focos,
C=l(tfrac0+22,,tfrac0+(-1)2r)=(1,-tfrac12)
O eixo maior faz um ângulo phi com o eixo x, onde tanphi = tfrac-12, mas isso não altera a identificação principal como elipse.

Resposta

O conjunto é a região elíptica (fechada e preenchida) de foco em 0 e em 2 - i, com centro em (1,-tfrac12), semi-eixo maior a=2 e semi-eixo menor b=tfracraiz112.\newline
Em outras palavras, é a elipse com focos em 0 e 2 - i e eixo maior de comprimento 4.

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