Mostre que:
r=x-12=y+2-3=z-54 e s:lx=t+1 y=2 t-9 z=-t-12 são retas reversas.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas no espaço e pede para mostrar que elas são reversas, ou seja, que não são paralelas e não têm ponto em comum.
A reta r está na forma
x-12 = y+2-3 = z-54
e a reta s está na forma paramétrica
x = t + 1, y = 2t - 9, z = -t - 12

Passo 2

Primeiro, colocamos r em forma paramétrica. Seja
u = x-12 = y+2-3 = z-54
Então
x = 2u + 1, y = -3u - 2, z = 4u + 5
Quando u=0 obtemos o ponto Pr=(1,-2,5) e o vetor direcional
vr = (2,,-3,,4)

Passo 3

Na reta s já temos diretamente
x = t + 1, y = 2t - 9, z = -t - 12
Para t=0 obtemos o ponto Ps=(1,-9,-12) e o vetor direcional
vs = (1,,2,,-1)

Passo 4

Verificamos se as retas são paralelas comparando vr e vs. Se houvesse lambda tal que
(2,-3,4) = lambda,(1,2,-1),
então da primeira componente lambda=2, mas da segunda teríamos -3=2cdot2=4, o que é absurdo.
Logo vr e vs não são colineares e as retas não são paralelas.

Passo 5

Agora tentamos achar um ponto comum, igualando as parametrizações:
2u+1 = t+1, -3u-2 = 2t-9, 4u+5 = -t-12
Da primeira equação vem t=2u. Substituindo na segunda:
-3u-2 = 2(2u)-9 implies -3u-2 = 4u-9 implies -7u +7=0 implies u=1,;t=2
Mas na terceira:
4cdot1+5 = 9, -2-12 = -14, 9 neq -14
Há contradição, logo não existe (u,t) que satisfaça todas as três equações simultaneamente. As retas não se intersectam.

Passo 6

Como r e s não são paralelas e não têm ponto em comum, concluímos que são retas reversas.

Resposta

As retas r e s são reversas.

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