Considere o triângulo de vértices A=(1,-1,1), B=(2,1,-2) e C=(0,1,1). Em cada item a seguir, dê equações paramétricas para uma reta r nas condições mencionadas.
r é a mediana do triângulo A B C em relação ao vértice A (ou seja, r é a reta que passa pelo vértice A e pelo ponto médio do lado B C).

Passo 1

Temos o triângulo de vértices A=(1,-1,1), B=(2,1,-2) e C=(0,1,1). Queremos a reta r que é a mediana relativa ao vértice A, ou seja, a reta que passa por A e pelo ponto médio de BC. O conteúdo utilizado é geometria vetorial em \mathbb{R}^3: cálculo de ponto médio e equação paramétrica de reta.

Passo 2

Calculemos o ponto médio M do segmento BC. As coordenadas de M são
M=\biggl(\frac{2+0}{2},\;\frac{1+1}{2},\;\frac{-2+1}{2}\biggr) =\bigl(1,\;1,\;-{\tfrac12}\bigr).

Passo 3

O vetor direção de r pode ser obtido como \overrightarrow{AM}=M-A. Então
\overrightarrow{AM}=\bigl(1-1,\;1-(-1),\;-{\tfrac12}-1\bigr) =(0,\;2,\;-{\tfrac32}).

Passo 4

A equação paramétrica da reta r passando por A com direção \overrightarrow{AM} é
\bigl(x,y,z\bigr) =(1,-1,1)+t\,(0,2,-\tfrac32), \quad t\in\mathbb{R}.
Isto equivale a
x=1,\quad y=-1+2t,\quad z=1-\frac{3}{2}t,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

A reta r pode ser dada por
\begin{cases} x = 1,\\\ y = -1 + 2t,\\\ z = 1 - \dfrac{3}{2}\,t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

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