Exercício 6 Seja T: V \rightarrow V uma transformação linear com T^{2}=0. Mostre que I-T é inversível, onde I é transformação identidade, isto é, I(v)=v, \forall v \in V.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma transformação linear T:V\to V satisfazendo
T^2 = 0,
isto é, para todo v\in V vale T(T(v))=0. Queremos mostrar que a transformação
I - T
é inversível, onde I é a identidade em V. O conteúdo da matéria aqui é operadores lineares inversíveis e o uso da propriedade de nilpotência ( T^2=0) para construir explicitamente o inverso.

Passo 2

Lembremos a definição de inversibilidade: um operador linear A:V\to V é inversível se existe outro operador linear S:V\to V tal que
S\circ A = I \quad\text{e}\quad A\circ S = I.
Aqui queremos encontrar um S que seja o inverso de I-T.

Passo 3

Vamos tentar a escolha óbvia
S = I + T.
Agora verificamos
S\circ(I-T) = (I+T)\,(I-T) = I - T + T - T^2 = I - \underbrace{T^2}_{0} = I,
pois T^2=0. De modo análogo,
(I-T)\circ S = (I-T)\,(I+T) = I + T - T - T^2 = I.

Passo 4

Concluímos, portanto, que S=I+T é simultaneamente a inversa à direita e à esquerda de I-T. Logo I-T é inversível.

Resposta

O operador (I-T) é inversível e
(I-T)^{-1} = I + T.

Exercícios relacionados