Considere o triângulo de vértices A=(1,-1,1), B=(2,1,-2) e C=(0,1,1). Em cada item a seguir, dê equações paramétricas para uma reta r nas condições mencionadas. r é a reta perpendicular à reta A B que passa pelo ponto C (ou seja, r e r_{A B} são concorrentes e ortogonais, e C \in r ).
Passo 1
O enunciado pede uma reta r que passa por C=(0,1,1) e é perpendicular à reta que une
A=(1,-1,1)\quad\text{e}\quad B=(2,1,-2).
Para isso precisamos
determinar o vetor diretor de r_{AB},
projetar o vetor \overrightarrow{AC} em direção a esse vetor,
obter o pé da perpendicular H sobre AB,
usar \overrightarrow{CH} como vetor diretor de r e
escrever as equações paramétricas.
Passo 2
Calculemos primeiro o vetor diretor de AB e o vetor \overrightarrow{AC}:
Finalmente, as equações paramétricas de r\) com ponto \(C\) e vetor diretor \(\mathbf{d}\) são
\[\begin{cases} x=0+17\,t,\\\ y=1-22\,t,\\\ z=1-9\,t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
Para checar a ortogonalidade basta ver que \overrightarrow{AB}\cdot\mathbf{d}
=1\cdot17+2\cdot(-22)+(-3)\cdot(-9)=17-44+27=0\],
confirmando que \(r\perp AB.