Considere o triângulo de vértices A=(1,-1,1), B=(2,1,-2) e C=(0,1,1). Em cada item a seguir, dê equações paramétricas para uma reta r nas condições mencionadas.
r é a reta perpendicular à reta A B que passa pelo ponto C (ou seja, r e r_{A B} são concorrentes e ortogonais, e C \in r ).

Passo 1

O enunciado pede uma reta r que passa por C=(0,1,1) e é perpendicular à reta que une
A=(1,-1,1)\quad\text{e}\quad B=(2,1,-2).
Para isso precisamos
  1. determinar o vetor diretor de r_{AB},
  2. projetar o vetor \overrightarrow{AC} em direção a esse vetor,
  3. obter o pé da perpendicular H sobre AB,
  4. usar \overrightarrow{CH} como vetor diretor de r e
  5. escrever as equações paramétricas.

Passo 2

Calculemos primeiro o vetor diretor de AB e o vetor \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\;1-(-1),\;-2-1)=(1,2,-3),
\overrightarrow{AC}=C-A=(0-1,\;1-(-1),\;1-1)=(-1,2,0).

Passo 3

Para achar o pé H da perpendicular de C em AB, projetamos \overrightarrow{AC} sobre \overrightarrow{AB}. A fórmula da projeção é
\mathrm{proj}_{\overrightarrow{AB}}(\overrightarrow{AC}) =\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}}\;\overrightarrow{AB}.
Calculamos os produtos internos:
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} =(-1)\cdot1 + 2\cdot2 + 0\cdot(-3)=3,
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB} =1^2+2^2+(-3)^2=14.
Logo
\mathrm{proj}_{\overrightarrow{AB}}(\overrightarrow{AC}) =\frac{3}{14}\,(1,2,-3)=\Bigl(\tfrac{3}{14},\tfrac{6}{14},-\tfrac{9}{14}\Bigr).

Passo 4

O pé H sobre AB é A mais essa projeção:
H =A + \mathrm{proj}_{\overrightarrow{AB}}(\overrightarrow{AC}) =\Bigl(1+\tfrac{3}{14},\,-1+\tfrac{6}{14},\,1-\tfrac{9}{14}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{17}{14},\,-\tfrac{4}{7},\,\tfrac{5}{14}\Bigr).
O vetor diretor de r é \overrightarrow{CH}=H-C:
\overrightarrow{CH} =\Bigl(\tfrac{17}{14}-0,\,-\tfrac{4}{7}-1,\;\tfrac{5}{14}-1\Bigr) =\Bigl(\tfrac{17}{14},\,-\tfrac{11}{7},\,-\tfrac{9}{14}\Bigr).
Multiplicando por 14 para tirar frações, podemos usar como vetor diretor
\mathbf{d}=14\,\overrightarrow{CH}=(17,\,-22,\,-9).

Passo 5

Finalmente, as equações paramétricas de r\) com ponto \(C\) e vetor diretor \(\mathbf{d}\) são \[\begin{cases} x=0+17\,t,\\\ y=1-22\,t,\\\ z=1-9\,t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
Para checar a ortogonalidade basta ver que
\overrightarrow{AB}\cdot\mathbf{d} =1\cdot17+2\cdot(-22)+(-3)\cdot(-9)=17-44+27=0\], confirmando que \(r\perp AB.

Resposta

As equações paramétricas da reta r são
\begin{cases} x=17\,t,\\\ y=1-22\,t,\\\ z=1-9\,t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

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