Exercício 1 Verifique qual (ais) das transformações lineares de mathbb{R}^{2} em mathbb{R}^{2} a seguir é invertível e determine sua inversa (se for o caso).
T(x, y)=(x, x-y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear
T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad T(x,y)=(x,\;x-y)
é invertível e, em caso afirmativo, determinar sua inversa. Vamos usar a representação matricial na base canônica e a propriedade do determinante.

Passo 2

Escrevemos T na base canônica. Para um vetor (x,y), temos
T(x,y) =\begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[3pt]y\end{pmatrix}.
Denotemos
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]1 & -1\end{pmatrix}
a matriz de T.]

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
\det A = (1)\cdot(-1) - (0)\cdot(1) = -1 \neq 0.
Como \det A\neq0, concluímos que A é invertível e, portanto, T é invertível.

Passo 4

Para encontrar T^{-1}\), seja \((u,v)=T(x,y)\). Isso dá o sistema \[\begin{cases} u = x,\\[3pt] v = x - y. \end{cases}
Da primeira equação vem (x = u]. Substituindo na segunda,
v = u - y \quad\Longrightarrow\quad y = u - v.
Logo, a inversa é
T^{-1}(u,v) = (u,\;u-v).
]

Resposta

T é invertível e
T^{-1}(u,v) = (u,\;u - v).

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