Considere o triângulo de vértices A=(1,-1,1), B=(2,1,-2) e C=(0,1,1). Em cada item a seguir, dê equações paramétricas para uma reta r nas condições mencionadas.
r e r_{A B} são retas reversas e ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá o triângulo com vértices A=(1,-1,1), B=(2,1,-2) e C=(0,1,1). Definimos r_{AB} como a reta que passa por A e B. Queremos achar uma reta r tal que r e r_{AB} sejam retas reversas (isto é, não coplanares) e ortogonais. Para isso vamos usar geometria vetorial em \mathbb{R}^3, produto escalar e condição de interseção de retas.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor de r_{AB}. Como
v_{AB} = B - A = (2,1,-2) - (1,-1,1) = (1,2,-3),
este será o nosso vetor diretor de referência.
Para que uma reta r com vetor diretor v seja ortogonal a r_{AB}, precisamos de
v \cdot v_{AB} = 0.
Para que sejam retas reversas, não deve existir solução para
P + t\,v = A + s\,v_{AB}
em parâmetros t,s.

Passo 3

Escolhemos um vetor v perpendicular a v_{AB}. Por exemplo,
v = (2,-1,0),
porque
v \cdot v_{AB} = 2\cdot 1 + (-1)\cdot 2 + 0\cdot(-3) = 2 - 2 + 0 = 0.
Para garantirmos que r não intersecta r_{AB}, escolhemos como apoio um ponto que não esteja em r_{AB}. Tomamos P = C = (0,1,1). Se tentássemos achar s tal que C = A + s\,v_{AB}, obteríamos sistema sem solução, logo C não pertence a r_{AB}.

Passo 4

Escrevemos então as equações paramétricas de r usando P=(0,1,1) e v=(2,-1,0):
r:\quad \begin{cases} x = 0 + 2t,\\\ y = 1 - t,\\\ z = 1 + 0\cdot t = 1, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

r:\;(x,y,z) = (0,1,1) + t\,(2,-1,0),\quad t\in\mathbb{R}.

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