Considere o triângulo com vértices
e
. Mostre que a mediana encontra em um único ponto (denominado de baricentro). Admitindo o abuso de notação, obtenha sua expressão em termos de
e
. Discuta, porque é um abuso de notação.
Passo 1
A questão pede para mostrar que as três medianas do triângulo com vértices A, B e C se cortam num mesmo ponto (o baricentro) e, admitindo um abuso de notação, obter a expressão desse ponto em termos de A, B e C; vamos usar geometria vetorial/afin para isso.
Passo 2
Seja M o ponto médio de BC. Como usamos vetores posição, temos
A mediana saindo de A pode ser parametricamente descrita por
Passo 3
Da mesma forma, seja N o ponto médio de AC, com
A mediana saindo de B é dada por
Passo 4
Para encontrar o ponto de interseção G, igualamos L_{AM}(t)=L_{BN}(s):
Resolvendo para t e s, obtemos t = s = \tfrac{2}{3}. Substituindo em L_{AM}(t) ou em L_{BN}(s) dá
Por simetria, a mediana de C também passa por G, mostrando a concorrência das três medianas.
Passo 5
O resultado
é um abuso de notação porque, em um espaço afim, não faz sentido somar pontos nem multiplicar um ponto por escalar. O correto é falar em combinação afim de vetores posição (ou escolher uma origem), mas adotamos a notação vetorial simplificada para facilitar a expressão.