Considere o triângulo com vértices A, B e C. Mostre que a mediana encontra em um único ponto (denominado de baricentro). Admitindo o abuso de notação, obtenha sua expressão em termos de A, B e C. Discuta, porque é um abuso de notação.

Passo 1

A questão pede para mostrar que as três medianas do triângulo com vértices A, B e C se cortam num mesmo ponto (o baricentro) e, admitindo um abuso de notação, obter a expressão desse ponto em termos de A, B e C; vamos usar geometria vetorial/afin para isso.

Passo 2

Seja M o ponto médio de BC. Como usamos vetores posição, temos
M = B + C2
A mediana saindo de A pode ser parametricamente descrita por
LAM(t) = A + tl(M - Ar) = A + tl(B + C2 - Ar)

Passo 3

Da mesma forma, seja N o ponto médio de AC, com
N = A + C2
A mediana saindo de B é dada por
LBN(s) = B + sl(N - Br) = B + sl(A + C2 - Br)

Passo 4

Para encontrar o ponto de interseção G, igualamos L_{AM}(t)=L_{BN}(s):
A + tl(B + C2-Ar) = B + sl(A + C2-Br)
Resolvendo para t e s, obtemos t = s = \tfrac{2}{3}. Substituindo em L_{AM}(t) ou em L_{BN}(s) dá
G = A + 23l(B + C2-Ar) = A + B + C3
Por simetria, a mediana de C também passa por G, mostrando a concorrência das três medianas.

Passo 5

O resultado G = tfracA + B + C3 é um abuso de notação porque, em um espaço afim, não faz sentido somar pontos nem multiplicar um ponto por escalar. O correto é falar em combinação afim de vetores posição (ou escolher uma origem), mas adotamos a notação vetorial simplificada para facilitar a expressão.

Resposta

G = tfracA + B + C3

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