Determine se os vetores dos conjuntos dados são LD ou LI:

Passo 1

O enunciado pede para determinar se os vetores (1,0,0), (–1,–2,–2) e (1,1,1) em ℝ³ são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Vamos usar a definição de dependência linear, que diz que os vetores são LD se existir uma combinação linear não trivial deles que dê o vetor zero.

Passo 2

Para aplicar a definição, montamos a combinação
c1(1,0,0)+c2(-1,-2,-2)+c3(1,1,1)=(0,0,0)
Isso gera o sistema de equações:
c1 - c2 + c3 = 0, -2c2 + c3 = 0, -2c2 + c3 = 0

Passo 3

As segunda e terceira equações são idênticas, então focamos em
-2c2 + c3 = 0 Rightarrow c3 = 2c2
Substituindo na primeira equação:
c1 - c2 + 2c2 = 0 Rightarrow c1 + c2 = 0 Rightarrow c1 = -c2

Passo 4

Como podemos tomar, por exemplo, c_2 = 1, daí c_1 = -1 e c_3 = 2, obtemos uma solução não trivial:
-1,(1,0,0) + 1,( -1,-2,-2) + 2,(1,1,1) = (0,0,0)
Portanto há combinação não trivial que anula o conjunto, logo os vetores são LD.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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