(a) Dados dois vetores V e W, sabemos que a soma V+W pode ser obtida pela regra do paralelogramo. O vetor V+W é um vetor que está na direção da reta bissetriz do ângulo formado por V e W? Em outras palavras, a diagonal V+W do paralelogramo divide os ângulos deste paralelogramo em dois ângulos iguais?
(b) Qual é a condição sobre V e W para que a resposta do item (a) seja afirmativa?
(c) No plano cartesiano considere os vetores V=(3,4) e W=(12,5). Determine um vetor que está na direção da reta bissetriz do ângulo formado por V e W.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a relação entre o vetor soma V+W obtido pela regra do paralelogramo e a bissetriz do ângulo formado por V e W. O conteúdo é geometria vetorial: como saber se a diagonal do paralelogramo realmente cuida a bissetriz do ângulo entre os dois lados.

Passo 2

Para caracterizar a bissetriz interna do ângulo entre V e W, usamos que sua direção é dada pela soma dos vetores unitários na direção de V e de W, ou seja,
V|V| + W|W|

Passo 3

Já a diagonal do paralelogramo é exatamente o vetor V+W. Para que a direção de V+W coincida com a direção de V|V|+W|W|, é necessário que esses dois vetores sejam proporcionais entre si. Comparando coordenada a coordenada, isso só ocorre quando os fatores escalares que vêm de |V| e de |W| se igualam.

Passo 4

Logo, a condição para que V+W divida os ângulos do paralelogramo em duas partes iguais é
|V| = |W|

Passo 5

Agora, para V=(3,4) e W=(12,5) temos
|V| = raiz3^2+4^2 = 5, |W| = raiz12^2+5^2 = 13
Os vetores unitários são
V|V| = l(tfrac35,tfrac45r) e
W|W| = l(tfrac1213,tfrac513r).
Somando-os:
V|V| + W|W| = l(tfrac35+tfrac1213,;tfrac45+tfrac513r) = l(tfrac9965,;tfrac7765r)
Um vetor qualquer na direção da bissetriz é, por exemplo,
(99,77),
pois é múltiplo escalar de l(tfrac9965,tfrac7765r).

Resposta

(a) Não, em geral V+W não é a bissetriz do ângulo formado por V e W.
(b) A condição é |V|=|W|.
(c) Um vetor na direção da bissetriz é (99,77).

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