(a) Dados dois vetores
e
, sabemos que a soma
pode ser obtida pela regra do paralelogramo. O vetor
é um vetor que está na direção da reta bissetriz do ângulo formado por
e
? Em outras palavras, a diagonal
do paralelogramo divide os ângulos deste paralelogramo em dois ângulos iguais?
(b) Qual é a condição sobre
e
para que a resposta do item (a) seja afirmativa?
(c) No plano cartesiano considere os vetores
e
. Determine um vetor que está na direção da reta bissetriz do ângulo formado por
e
.
(b) Qual é a condição sobre
(c) No plano cartesiano considere os vetores
Passo 1
O enunciado pergunta sobre a relação entre o vetor soma
obtido pela regra do paralelogramo e a bissetriz do ângulo formado por
e
. O conteúdo é geometria vetorial: como saber se a diagonal do paralelogramo realmente cuida a bissetriz do ângulo entre os dois lados.
Passo 2
Para caracterizar a bissetriz interna do ângulo entre
e
, usamos que sua direção é dada pela soma dos vetores unitários na direção de
e de
, ou seja,
Passo 3
Já a diagonal do paralelogramo é exatamente o vetor
. Para que a direção de
coincida com a direção de
, é necessário que esses dois vetores sejam proporcionais entre si. Comparando coordenada a coordenada, isso só ocorre quando os fatores escalares que vêm de
e de
se igualam.
Passo 4
Logo, a condição para que
divida os ângulos do paralelogramo em duas partes iguais é
Passo 5
Agora, para
e
temos
Os vetores unitários são
e
.
Somando-os:
Somando-os:
Um vetor qualquer na direção da bissetriz é, por exemplo,
pois é múltiplo escalar de
.
Resposta
(a) Não, em geral
não é a bissetriz do ângulo formado por
e
.
(b) A condição é .
(c) Um vetor na direção da bissetriz é .
(b) A condição é
(c) Um vetor na direção da bissetriz é