Considere o triângulo ABC de vértices A(-4,1,1), B(1,0,1) e C(0,-1,3).
a) Calcular a área do triângulo e a altura relativa ao lado BC.
b) Calcular a projeção do menor lado sobre o maior lado triângulo ABC.

Passo 1

Temos um triângulo em R^3 com vértices
A(-4,1,1), B(1,0,1), C(0,-1,3)
Para achar a área usaremos produto vetorial, pois a área do paralelogramo formado por AB e AC é |ABtimesAC|, e a área do triângulo é metade disso. A altura relativa a BC sai de
hBC=2cdotÁrea|BC| Á
Para a projeção do menor lado sobre o maior, identificamos esses lados pelos seus comprimentos e usamos a fórmula do produto escalar para projeção escalar:
proju(v)=vcdotu|u|

Passo 2

Calcular os vetores dos lados a partir de A:
AB=B-A=(1-(-4),,0-1,,1-1)=(5,-1,0),
AC=C-A=(0-(-4),,-1-1,,3-1)=(4,-2,2),
BC=C-B=(0-1,,-1-0,,3-1)=(-1,-1,2)
Seus comprimentos são
|AB|=raiz5^2+(-1)^2+0^2=raiz26, |AC|=raiz4^2+(-2)^2+2^2=raiz24=2raiz6,
|BC|=raiz(-1)^2+(-1)^2+2^2=raiz6
Logo o menor lado é BC e o maior é AB.

Passo 3

Computar o produto vetorial ABtimesAC:
ABtimesAC =det i&j&k 5&-1&0 4&-2&2 =(-2,,-10,,-6)
O módulo é
|ABtimesAC|=raiz(-2)^2+(-10)^2+(-6)^2 =raiz4+100+36 =raiz140=2raiz35
Então a área do triângulo é
Área=12,|ABtimesAC| =2raiz352 =raiz35 Á

Passo 4

A altura relativa ao lado BC vale
hBC=2cdotÁrea|BC| =2raiz35raiz6 =2raiz35,raiz66 =raiz2103 Á

Passo 5

Para a projeção do menor lado BC sobre o maior AB usamos a projeção escalar:
BCcdotAB =(-1)cdot5+(-1)cdot(-1)+2cdot0 =-5+1+0 =-4,
projAB(BC) =BCcdotAB|AB| =-4raiz26
O comprimento da projeção (módulo) é
gl|-4raiz26gr| =4raiz26 =2raiz2613

Resposta

(a) Área =raiz35, altura relativa a BC =dfracraiz2103.
(b) Projeção do menor lado sobre o maior =dfrac4raiz26 (ou racionalizado dfrac2raiz2613).

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