Encontre a equação do plano que contém todos os pontos que equidistam de P=(1,2,3) e Q=(0,5,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano cujos pontos X satisfazem
|X - P| = |X - Q|,
onde P=(1,2,3) e Q=(0,5,2). Geometricamente, esse lugar geométrico é o plano perpendicular ao segmento PQ que passa pelo ponto médio de P e Q. Para resolver, vamos calcular o ponto médio M e o vetor PQ, que será normal ao plano.

Passo 2

O ponto médio M de P e Q é dado por
M = gl(1+02,,2+52,,3+22gr) = l(0,5,,3,5,,2,5r)

Passo 3

O vetor PQ é
PQ = Q - P = (0-1,;5-2,;2-3) = (-1,,3,,-1)
Esse vetor é perpendicular ao plano buscado, logo serve como normal n=(-1,3,-1).

Passo 4

A equação do plano com normal n=(a,b,c) e que passa por M=(x0,y0,z0) é
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Substituindo a=-1, b=3, c=-1 e M=(0,5,3,5,2,5), temos
-1(x - 0,5) + 3(y - 3,5) - 1(z - 2,5) = 0
Expandindo,
-,x + 0,5 + 3,y - 10,5 - z + 2,5 = 0 ;Longrightarrow; -,x + 3,y - z - 7,5 = 0
Multiplicando por -1 e, se quisermos, por 2 para eliminar decimais:
x - 3,y + z + 7,5 = 0 Longrightarrow 2x - 6y + 2z + 15 = 0

Resposta

A equação do plano equidistante de P e Q é
2x - 6y + 2z + 15 = 0

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