Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformações lineares:
e) T: I R^3 I R^3, T(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z, 2 y+3 z)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3toR^3 dada por
T(x,y,z) = (,x+y+z,;2y+z,;2y+3z,)
Queremos achar os valores próprios (autovalores) lambda e, para cada um, o subespaço próprio vneq0mid T(v)=lambda v. Para isso, representamos T pela matriz A na base canônica, calculamos o polinômio característico det(A-lambda I) e obtemos os autovalores e seus respectivos autovetores.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 2 & 3

Passo 3

O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 1 & 1 0 & 2-lambda & 1 0 & 2 & 3-lambda
Expansão pela primeira coluna dá
(1-lambda)det2-lambda & 12 & 3-lambda = (1-lambda)l((2-lambda)(3-lambda)-2r)
Calculando a parte interna:
(2-lambda)(3-lambda)-2 =6-5lambda+lambda^2-2 =lambda^2-5lambda+4
Logo
det(A-lambda I) =(1-lambda)(lambda^2-5lambda+4)

Passo 4

Fatorando lambda^2-5lambda+4 = (lambda-1)(lambda-4), o polinômio fica
(1-lambda)(lambda-1)(lambda-4) =-(lambda-1)^2(lambda-4)
Portanto os autovalores são
lambda1 = 1(mu<iplicidade 2), lambda2 = 4(mu<iplicidade 1)

Passo 5

Para resolvemos , ou
Não há equação envolvendo , logo é livre e . Assim o espaço próprio é

Passo 6

Para resolvemos , ou
Da segunda linha vem , i.e.\ . Substituindo na primeira:
. Logo

Resposta

Os autovalores e autovetores (espinhaços próprios) são:
(a) lambda=1 (multiplicidade algébrica 2), com espaço próprio
E1=span(1,0,0),,(0,1,-1)
(b) lambda=4 (multiplicidade algébrica 1), com espaço próprio
E4=span(1,1,2)

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