Verificar se os vetores a=j+k, b=2 i+j e c=i+k formam uma base? E positiva ou negativa? Em caso afirmativo escrever o vetor v=2 i-j+3 k na base a, b, c.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
a=j+k, b=2i+j, c=i+k,
e pede para verificar se eles formam base, determinar se a base é positiva ou negativa, e, em caso afirmativo, escrever o vetor
v=2i-j+3k na base a,b,c. Para isso vamos usar cálculo de determinante para testar independência linear e orientação, e resolver um sistema linear para achar as coordenadas.

Passo 2

Escrevemos as colunas da matriz cujas colunas são as componentes de a,b,c no referencial canônico:
A = 0 & 2 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1
Calculamos o determinante para ver se é invertível:
det(A) =0cdotdet1&00&1 -2cdotdet1&01&1 +1cdotdet1&11&0 =-2,(1cdot1-0cdot1)+(1cdot0-1cdot1) =-2-1=-3

Passo 3

Como det(A)=-3neq0, os vetores são linearmente independentes e formam base de R^3. A orientação (signo do determinante) é negativa, pois det(A)<0.

Passo 4

Para expressar
Isso gera o sistema
Da segunda equação (x=-1-y]. Substituindo na terceira:

Na primeira:

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Resposta

Sim, formam base; a base é de orientação negativa; as coordenadas de
v na base a,b,c são
l(x,y,zr)=l(-tfrac13,,-tfrac23,,tfrac103r)

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