Considere o triângulo de vértices , e .
Determine uma equação da reta que contém a mediana relativa ao lado .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um triângulo com vértices nos pontos A(0,0,0), B(4,3,0) e C(0,3,3). A pergunta quer que a gente encontre a equação da reta que contém a mediana relativa ao lado AB. Aqui, vamos trabalhar com coordenadas no espaço tridimensional.
Passo 2
Uma mediana de um triângulo é um segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. No caso da mediana relativa ao lado AB, isso significa que vamos ligar o vértice C ao ponto médio do lado AB.
Passo 3
Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas do ponto médio do lado AB. Para encontrar o ponto médio entre dois pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2), usamos a fórmula:
M = ( x1 + x22 , y1 + y22 , z1 + z22 )
Passo 4
Aplicando essa fórmula aos pontos A(0,0,0) e B(4,3,0):
M = ( 0 + 42 , 0 + 32 , 0 + 02 ) = (2, 1.5, 0)
Passo 5
Agora, queremos a equação da reta que passa pelo ponto C(0,3,3) e pelo ponto médio M(2,1.5,0).
Passo 6
Para encontrar a equação da reta, usamos a forma paramétrica. A forma paramétrica de uma reta é dada por:
r = r0 + tv
Onde r0 é um ponto na reta e v é um vetor diretor da reta.
Passo 7
Escolhemos C(0,3,3) como ponto de referência (r0) e calculamos o vetor diretor v subtraindo as coordenadas de C de M:
v = (2 - 0 , 1.5 - 3, 0 - 3) = (2, -1.5, -3)
Podemos simplificar o vetor dividindo todos os componentes por 0.5:
v = (4, -3, -6)
Passo 8
Assim, a equação paramétrica da reta é:
x = 0 + 4t y = 3 - 3t z = 3 - 6t
Resposta
A equação da reta que contém a mediana relativa ao lado AB é: