Seja o tetraedro de base , e e vértice .
Ache a equação cartesiana do plano que contém a base desse tetraedro;
Passo 1
Resumo do Problema e Conteúdo
Então, a gente tem um tetraedro chamado , onde os pontos , , formam a base e é o vértice. As coordenadas desses pontos são:
A tarefa é encontrar a equação cartesiana do plano que contém a base . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar saber como determinar a equação de um plano a partir de três pontos.
Passo 2
Entendendo a Equação do Plano
Primeiro, vamos relembrar que a equação geral de um plano no espaço é dada por:
Aqui, são os coeficientes que representam o vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular ao plano. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes usando os pontos , e .
Passo 3
Encontrando os Vetores no Plano
Para achar o vetor normal, precisamos de dois vetores que estejam no plano. Podemos obter esses vetores subtraindo as coordenadas dos pontos:
Vetor
Vetor AC = C - A = (-1 - (-4), -1 - 0, -2 - 0) = (3, -1, -2)
Passo 4
Calculando o Vetor Normal com Produto Vetorial
Agora, vamos calcular o vetor normal ao plano usando o produto vetorial dos vetores AB e AC. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular a ambos, ou seja, perpendicular ao plano.