Seja ABCV o tetraedro de base A(-4,0,0), B(0,-4,0) e C(-1,-1,-2) e vértice V(1,1,1).
Ache a equação cartesiana do plano beta que contém a base ABC desse tetraedro;

Passo 1

Resumo do Problema e Conteúdo
Então, a gente tem um tetraedro chamado ABCV, onde os pontos A, B, C formam a base e V é o vértice. As coordenadas desses pontos são:
  • A(-4, 0, 0)
  • B(0, -4, 0)
  • C(-1, -1, -2)
  • V(1, 1, 1)
A tarefa é encontrar a equação cartesiana do plano beta que contém a base ABC. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar saber como determinar a equação de um plano a partir de três pontos.

Passo 2

Entendendo a Equação do Plano
Primeiro, vamos relembrar que a equação geral de um plano no espaço é dada por:
ax + by + cz + d = 0
Aqui, (a, b, c) são os coeficientes que representam o vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular ao plano. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes usando os pontos A, B e C.

Passo 3

Encontrando os Vetores no Plano
Para achar o vetor normal, precisamos de dois vetores que estejam no plano. Podemos obter esses vetores subtraindo as coordenadas dos pontos:
  • Vetor AB = B - A = (0 - (-4), -4 - 0, 0 - 0) = (4, -4, 0)
  • Vetor AC = C - A = (-1 - (-4), -1 - 0, -2 - 0) = (3, -1, -2)

Passo 4

Calculando o Vetor Normal com Produto Vetorial
Agora, vamos calcular o vetor normal ao plano usando o produto vetorial dos vetores AB e AC. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular a ambos, ou seja, perpendicular ao plano.
AB times AC = i & j & k 4 & -4 & 0 3 & -1 & -2
Calculando o determinante:
i cdot (-4 cdot -2 - 0 cdot -1) - j cdot (4 cdot -2 - 0 cdot 3) + k cdot (4 cdot -1 - (-4) cdot 3) = i cdot (8 - 0) - j cdot (-8 - 0) + k cdot (-4 + 12) = 8i + 8j + 8k
Então, o vetor normal é (8, 8, 8). Podemos simplificar dividindo cada componente por 8, ficando (1, 1, 1), pois a direção é o que importa.

Passo 5

Escrevendo a Equação do Plano
Agora que temos o vetor normal (1, 1, 1) e um ponto no plano, por exemplo, o ponto A(-4, 0, 0), podemos usar a fórmula da equação do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Substituindo os valores:
1(x - (-4)) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 Rightarrow 1(x + 4) + 1y + 1z = 0 Rightarrow x + 4 + y + z = 0 Rightarrow x + y + z + 4 = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano beta que contém a base ABC é:
x + y + z + 4 = 0

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