Considere o triângulo de vértices A(0,0,0), B(4,3,0) e C(0,3,3).
Encontre uma equação da reta que contém a bissetriz do ângulo com vértice no ponto B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem é sobre um triângulo no espaço tridimensional com vértices nas coordenadas A(0,0,0), B(4,3,0) e C(0,3,3). A gente precisa encontrar a equação da reta que contém a bissetriz do ângulo no vértice B. Isso envolve um pouco de geometria analítica e álgebra vetorial. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com vetores, encontrar direções e usar algumas fórmulas básicas de geometria no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma bissetriz de ângulo. Num triângulo, a bissetriz de um ângulo é a reta que divide esse ângulo em dois ângulos iguais. No nosso caso, queremos a bissetriz do ângulo em B, então precisamos considerar os lados BA e BC.

Passo 3

Vamos começar encontrando os vetores que representam os lados BA e BC. Para isso, subtraímos as coordenadas do vértice inicial das coordenadas do vértice final.
  • Vetor BA: A - B = (0-4, 0-3, 0-0) = (-4, -3, 0)
  • Vetor BC: C - B = (0-4, 3-3, 3-0) = (-4, 0, 3)

Passo 4

Agora, precisamos normalizar esses vetores, ou seja, transformar eles em vetores unitários (com comprimento igual a 1). A normalização é importante para que a bissetriz seja proporcional aos lados.
A fórmula para normalizar um vetor v = (vx, vy, vz) é:
v = v|v|
onde |v| é o módulo do vetor, calculado por:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2

Passo 5

Vamos calcular o módulo e os vetores unitários para BA e BC.
  • Para BA = (-4, -3, 0):
|BA| = raiz(-4)^2 + (-3)^2 + 0^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
BA = ( -45, -35, 0 )
  • Para BC = (-4, 0, 3):
|BC| = raiz(-4)^2 + 0^2 + 3^2 = raiz16 + 0 + 9 = raiz25 = 5
BC = ( -45, 0, 35 )

Passo 6

A bissetriz do ângulo em B é a direção da soma dos vetores unitários BA e BC . Ou seja:
Bis = BA + BC = ( -45 + -45, -35 + 0, 0 + 35 ) = ( -85, -35, 35 )
Esse vetor Bis dá a direção da bissetriz.

Passo 7

Agora que temos a direção da bissetriz, podemos escrever a equação paramétrica da reta que a representa. Sabemos que a bissetriz passa pelo ponto B(4,3,0), então a equação fica:
x = 4 + ( -85 ) t y = 3 + ( -35 ) t z = 0 + ( 35 ) t
onde t é o parâmetro.

Passo 8

Para deixar a equação mais elegante, podemos multiplicar todos os termos por 5 para eliminar os denominadores, se preferir:
x = 4 - 85 t y = 3 - 35 t z = 35 t

Resposta

A equação da reta que contém a bissetriz do ângulo com vértice no ponto B é:
boxed x = 4 - dfrac85 t y = 3 - dfrac35 t z = dfrac35 t

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