Considere o triângulo de vértices , e .
Encontre uma equação da reta que contém a bissetriz do ângulo com vértice no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem é sobre um triângulo no espaço tridimensional com vértices nas coordenadas A(0,0,0), B(4,3,0) e C(0,3,3). A gente precisa encontrar a equação da reta que contém a bissetriz do ângulo no vértice B. Isso envolve um pouco de geometria analítica e álgebra vetorial. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com vetores, encontrar direções e usar algumas fórmulas básicas de geometria no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma bissetriz de ângulo. Num triângulo, a bissetriz de um ângulo é a reta que divide esse ângulo em dois ângulos iguais. No nosso caso, queremos a bissetriz do ângulo em B, então precisamos considerar os lados BA e BC.
Passo 3
Vamos começar encontrando os vetores que representam os lados BA e BC. Para isso, subtraímos as coordenadas do vértice inicial das coordenadas do vértice final.
Vetor BA: A - B = (0-4, 0-3, 0-0) = (-4, -3, 0)
Vetor BC: C - B = (0-4, 3-3, 3-0) = (-4, 0, 3)
Passo 4
Agora, precisamos normalizar esses vetores, ou seja, transformar eles em vetores unitários (com comprimento igual a 1). A normalização é importante para que a bissetriz seja proporcional aos lados.
A fórmula para normalizar um vetor é:
onde é o módulo do vetor, calculado por:
Passo 5
Vamos calcular o módulo e os vetores unitários para BA e BC.
Para BA = (-4, -3, 0):
Para BC = (-4, 0, 3):
Passo 6
A bissetriz do ângulo em B é a direção da soma dos vetores unitários e . Ou seja:
Esse vetor dá a direção da bissetriz.
Passo 7
Agora que temos a direção da bissetriz, podemos escrever a equação paramétrica da reta que a representa. Sabemos que a bissetriz passa pelo ponto B(4,3,0), então a equação fica:
onde t é o parâmetro.
Passo 8
Para deixar a equação mais elegante, podemos multiplicar todos os termos por 5 para eliminar os denominadores, se preferir:
x = 4 - 85 t y = 3 - 35 t z = 35 t
Resposta
A equação da reta que contém a bissetriz do ângulo com vértice no ponto B é:
boxed x = 4 - dfrac85 t y = 3 - dfrac35 t z = dfrac35 t