Seja U o subespaço de R^3 gerado por u1=(1,1,1) e u2=(1,2,3) e cdot o produto interno canônico de R^3.
Encontre uma base ortogonal de U.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um subespaço U de R^3 gerado pelos vetores u1 = (1,1,1) e u2 = (1,2,3) . A missão é encontrar uma base ortogonal pra esse subespaço. Pra isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que ajuda a transformar um conjunto de vetores qualquer em uma base onde eles são todos ortogonais entre si. Vamos precisar entender um pouquinho sobre projeção de vetores e produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar o primeiro vetor u1 . No processo de Gram-Schmidt, o primeiro vetor da base ortogonal é igual ao primeiro vetor original. Então, chamamos esse vetor de v1 :
v1 = u1 = (1, 1, 1)

Passo 3

Agora, vamos trabalhar com o segundo vetor u2 = (1, 2, 3) . A ideia é tirar de u2 a parte que está na direção de v1 , deixando só a parte que é “nova” e, portanto, ortogonal a v1 .
Primeiro, calculamos a projeção de u2 em v1 , que é dada por:
projv1 u2 = ( u2 cdot v1v1 cdot v1 ) v1
Vamos calcular o produto interno u2 cdot v1 e v1 cdot v1 :
u2 cdot v1 = 1 times 1 + 2 times 1 + 3 times 1 = 6
v1 cdot v1 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3
Então,
projv1 u2 = ( 63 ) (1, 1, 1) = 2 times (1, 1, 1) = (2, 2, 2)

Passo 4

Agora, subtraímos essa projeção de u2 para obter o segundo vetor da base ortogonal, chamado v2 :
v2 = u2 - projv1 u2 = (1, 2, 3) - (2, 2, 2) = (-1, 0, 1)

Resposta

A base ortogonal de U é formada pelos vetores:
boxed , (1, 1, 1), (-1, 0, 1) ,

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