Seja
o subespaço de
gerado por
e
e
o produto interno canônico de
.
Encontre uma base ortogonal de
.
Encontre uma base ortogonal de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um subespaço
de
gerado pelos vetores
e
. A missão é encontrar uma base ortogonal pra esse subespaço. Pra isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que ajuda a transformar um conjunto de vetores qualquer em uma base onde eles são todos ortogonais entre si. Vamos precisar entender um pouquinho sobre projeção de vetores e produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos pegar o primeiro vetor
. No processo de Gram-Schmidt, o primeiro vetor da base ortogonal é igual ao primeiro vetor original. Então, chamamos esse vetor de
:
Passo 3
Agora, vamos trabalhar com o segundo vetor
. A ideia é tirar de
a parte que está na direção de
, deixando só a parte que é “nova” e, portanto, ortogonal a
.
Primeiro, calculamos a projeção de
em
, que é dada por:
Vamos calcular o produto interno
e
:
Então,
Passo 4
Agora, subtraímos essa projeção de
para obter o segundo vetor da base ortogonal, chamado
:
Resposta
A base ortogonal de
é formada pelos vetores: