Seja
o subespaço de
gerado por
e
e
o produto interno canônico de
.
Encontre a projeção do vetor
sobre
.
Encontre a projeção do vetor
Passo 1
O enunciado pede a projeção ortogonal de
sobre o subespaço
gerado por
usando o produto interno canônico. Para isso vamos usar a fórmula da projeção em termos da matriz de Gram:
onde
.
Passo 2
Calcular a matriz de Gram
, cujos elementos são
. Temos
logo
Passo 3
Calcular o vetor
b=A^Tv , cujas componentes são
bi=uicdot v . Assim,
então
Passo 4
Encontrar as coordenadas
alpha=(alpha1,alpha2)^T resolvendo
O determinante de
G é
det G=3cdot14-6cdot6=42-36=6 , então
e
Passo 5
A projeção de
v sobre
U é
Resposta
A projeção de
v sobre
U é
(4,5,6) .