Seja U o subespaço de R^3 gerado por u1=(1,1,1) e u2=(1,2,3) e cdot o produto interno canônico de R^3.
Encontre a projeção do vetor v=(5,3,7) sobre U.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de v=(5,3,7) sobre o subespaço
UsubsetR^3 gerado por
u1=(1,1,1), u2=(1,2,3),
usando o produto interno canônico. Para isso vamos usar a fórmula da projeção em termos da matriz de Gram:
projU(v) = A,(A^TA)^-1A^Tv,
onde A=[,u1;u2,].

Passo 2

Calcular a matriz de Gram G=A^TA, cujos elementos são Gij=uicdot uj. Temos
u1cdot u1=1+1+1=3, u1cdot u2=1+2+3=6, u2cdot u2=1+4+9=14,
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G = A^TA = 3 & 6 6 & 14

Passo 3

Calcular o vetor b=A^Tv, cujas componentes são bi=uicdot v. Assim,
u1cdot v =5+3+7=15, u2cdot v =5+2cdot3+3cdot7=5+6+21=32,
então
b = 1532

Passo 4

Encontrar as coordenadas alpha=(alpha1,alpha2)^T resolvendo
G,alpha = b Longrightarrow alpha = G^-1b
O determinante de G é det G=3cdot14-6cdot6=42-36=6, então
G^-1 = 16 14 & -6 -6 & 3 ,
e
alpha = 16 14 & -6 -6 & 3 1532 = 16210-192-90+96 = 31

Passo 5

A projeção de v sobre U é
projU(v) = alpha1,u1 + alpha2,u2 = 3,(1,1,1) + 1,(1,2,3) = (3+1,;3+2,;3+3) = (4,5,6)

Resposta

A projeção de v sobre U é (4,5,6).

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