Considere o triângulo com vértices em e
(a) Determine o vetor que é a projeção do vetor sobre A C;
(b) Cacule v=A B-p e interprete v geometricamente;
(c) Com o auxilio de v, calcule a altura do triângulo A B C tomando a base como o segmento A B;
(d) Calcule a área do triângulo A B C;
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre vetores no espaço tridimensional aplicado a um triângulo. Temos um triângulo com vértices em A(1,2,1) , B(0,4,4) e C(-2,1,1) . Vamos precisar entender vetores, projeções de vetores, e como calcular áreas e alturas de triângulos usando esses conceitos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor AB. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:
AB = B - A = (0-1, 4-2, 4-1) = (-1, 2, 3)
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor AC:
AC = C - A = (-2-1, 1-2, 1-1) = (-3, -1, 0)
Passo 4
Para determinar o vetor p, que é a projeção de AB sobre AC, usamos a fórmula da projeção de um vetor u sobre v:
projv u = ( u cdot v|v|^2 ) v
Vamos calcular o produto escalar AB cdot AC:
AB cdot AC = (-1)(-3) + (2)(-1) + (3)(0) = 3 - 2 + 0 = 1