Considere o triângulo com vértices em A(1,2,1), B(0,4,4) e C(-2,1,1)
(a) Determine o vetor p que é a projeção do vetor A B sobre A C;
(b) Cacule v=A B-p e interprete v geometricamente;
(c) Com o auxilio de v, calcule a altura do triângulo A B C tomando a base como o segmento A B;
(d) Calcule a área do triângulo A B C;

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre vetores no espaço tridimensional aplicado a um triângulo. Temos um triângulo com vértices em A(1,2,1) , B(0,4,4) e C(-2,1,1) . Vamos precisar entender vetores, projeções de vetores, e como calcular áreas e alturas de triângulos usando esses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor AB. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:
AB = B - A = (0-1, 4-2, 4-1) = (-1, 2, 3)

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor AC:
AC = C - A = (-2-1, 1-2, 1-1) = (-3, -1, 0)

Passo 4

Para determinar o vetor p, que é a projeção de AB sobre AC, usamos a fórmula da projeção de um vetor u sobre v:
projv u = ( u cdot v|v|^2 ) v
Vamos calcular o produto escalar AB cdot AC:
AB cdot AC = (-1)(-3) + (2)(-1) + (3)(0) = 3 - 2 + 0 = 1
Agora, calculamos o módulo ao quadrado de AC:
|AC|^2 = (-3)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 9 + 1 + 0 = 10
Então, a projeção p é:
p = ( 110 ) cdot (-3, -1, 0) = ( -310, -110, 0 )

Passo 5

Agora, vamos calcular v = AB - p:
v = (-1, 2, 3) - ( -310, -110, 0 ) = ( -1 + 310, 2 + 110, 3 - 0 ) = ( -710, 2110, 3 )
Geometricamente, v é o componente de AB que é perpendicular a AC. Ou seja, v representa a altura do triângulo relativa à base AC.

Passo 6

Para calcular a altura do triângulo ABC tomando a base como o segmento AB, usamos a magnitude do vetor v:
|v| = raiz(-710)^2 + (2110)^2 + 3^2 = raiz49100 + 441100 + 9 = raiz490100 + 9 = raiz4.9 + 9 = raiz13.9 approx 3.73
Portanto, a altura do triângulo em relação à base AB é aproximadamente 3,73 unidades.

Passo 7

Finalmente, para calcular a área do triângulo ABC, usamos a fórmula:
Área = 12 times base times a<ura Á
Primeiro, calculamos a magnitude de AB:
|AB| = raiz(-1)^2 + 2^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14 approx 3.74
Agora, substituímos na fórmula da área:
Área = 12 times 3.74 times 3.73 approx 12 times 13.94 approx 6.97 Á

Resposta

A área do triângulo ABC é aproximadamente 6,97 unidades quadradas.

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