Sejam
e
os cossenos diretores de um vetor não nulo
, mostre que o vetor
é unitário e tem a mesma direção e sentido de
.
Passo 1
Vamos resumir o que está sendo pedido: temos um vetor não nulo
com os cossenos diretores
,
e
. Precisamos mostrar que o vetor
, construído a partir desses cossenos diretores, é unitário (ou seja, tem módulo igual a 1) e que ele tem a mesma direção e sentido que o vetor
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, cossenos diretores e propriedades de vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os cossenos diretores. Os cossenos diretores de um vetor
são os cossenos dos ângulos que esse vetor forma com os eixos coordenados
,
e
. Eles são dados por:
onde
,
e
são as componentes de
, e
é o módulo de
.
Passo 3
Vamos construir o vetor
usando esses cossenos diretores:
Para mostrar que
é unitário, precisamos calcular o módulo de
e verificar se ele é igual a 1:
Substituindo as expressões dos cossenos diretores:
Portanto,
é um vetor unitário.
Passo 4
Agora, para mostrar que
tem a mesma direção e sentido que
, vamos observar que
é construído a partir dos cossenos diretores de
. Isso significa que
aponta exatamente na mesma direção que
, pois os ângulos que forma com os eixos são os mesmos. Além disso, como os cossenos diretores mantêm os sinais dos componentes de
, o sentido também é o mesmo.
Resposta
O vetor
é unitário e possui a mesma direção e sentido do vetor
.