Sejam cos alpha, cos beta e cos gamma os cossenos diretores de um vetor não nulo v, mostre que o vetor u é unitário e tem a mesma direção e sentido de v.

Passo 1

Vamos resumir o que está sendo pedido: temos um vetor não nulo v com os cossenos diretores cos alpha, cos beta e cos gamma. Precisamos mostrar que o vetor u, construído a partir desses cossenos diretores, é unitário (ou seja, tem módulo igual a 1) e que ele tem a mesma direção e sentido que o vetor v. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, cossenos diretores e propriedades de vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os cossenos diretores. Os cossenos diretores de um vetor v são os cossenos dos ângulos que esse vetor forma com os eixos coordenados x, y e z. Eles são dados por:
cos alpha = vx|v|, cos beta = vy|v|, cos gamma = vz|v|
onde vx, vy e vz são as componentes de v, e |v| é o módulo de v.

Passo 3

Vamos construir o vetor u usando esses cossenos diretores:
u = (cos alpha, cos beta, cos gamma)
Para mostrar que u é unitário, precisamos calcular o módulo de u e verificar se ele é igual a 1:
|u| = raiz(cos alpha)^2 + (cos beta)^2 + (cos gamma)^2
Substituindo as expressões dos cossenos diretores:
|u| = raiz(vx|v|)^2 + (vy|v|)^2 + (vz|v|)^2 = raizvx^2 + vy^2 + vz^2|v|^2 = raiz|v|^2|v|^2 = raiz1 = 1
Portanto, u é um vetor unitário.

Passo 4

Agora, para mostrar que u tem a mesma direção e sentido que v, vamos observar que u é construído a partir dos cossenos diretores de v. Isso significa que u aponta exatamente na mesma direção que v, pois os ângulos que forma com os eixos são os mesmos. Além disso, como os cossenos diretores mantêm os sinais dos componentes de v, o sentido também é o mesmo.

Resposta

O vetor u = (cos alpha, cos beta, cos gamma) é unitário e possui a mesma direção e sentido do vetor v.

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