Sejam (G, cdot) um grupo e u in G. Prove que u é o elemento neutro de G se, e somente se, u cdot a=a, para algum a em G.

Passo 1

O enunciado fala de um grupo (G,cdot) e de um elemento u in G. Queremos mostrar que
;u é o elemento neutro de G; se, e somente se, existe algum a in G tal que
u cdot a = a
Para isso vamos usar os axiomas de grupo: associatividade, existência de elemento neutro (único) e existência de inversos.

Passo 2

(Prova da direção “ Rightarrow”)
Suponha que u seja o elemento neutro de G. Por definição de neutro, para todo ain G vale
ucdot a = a
Em particular, existe (na verdade, para todo) elemento a tal que ucdot a = a. Logo essa direção está provada.

Passo 3

(Prova da direção “ Leftarrow”)
Agora suponha que exista um ain G satisfazendo
ucdot a = a
Como G é grupo, a tem inverso a^-1. Multiplicamos a igualdade à direita por a^-1:
(ucdot a)cdot a^-1 ;=; acdot a^-1
Pela associatividade, o lado esquerdo fica
ucdot (acdot a^-1) = ucdot e,
onde e é o neutro de G, e o lado direito é
acdot a^-1 = e
Assim temos
ucdot e = e
Mas ucdot e = u para todo u, pois e é o neutro. Concluímos que
u = e,
isto é, u é o elemento neutro.

Resposta

Mostramos que u é o elemento neutro de G se, e somente se, existe ain G tal que ucdot a = a.

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