Sejam
um grupo e
. Prove que
é o elemento neutro de
se, e somente se,
, para algum
em
.
Passo 1
O enunciado fala de um grupo
e de um elemento
. Queremos mostrar que
é o elemento neutro de
; se, e somente se, existe algum
tal que
Para isso vamos usar os axiomas de grupo: associatividade, existência de elemento neutro (único) e existência de inversos.
Passo 2
(Prova da direção “
”)
Suponha que seja o elemento neutro de
. Por definição de neutro, para todo
vale
Suponha que
Em particular, existe (na verdade, para todo) elemento
tal que
. Logo essa direção está provada.
Passo 3
(Prova da direção “
”)
Agora suponha que exista um satisfazendo
Agora suponha que exista um
Como
é grupo,
tem inverso
. Multiplicamos a igualdade à direita por
:
Pela associatividade, o lado esquerdo fica
onde
é o neutro de
, e o lado direito é
Assim temos
Mas
para todo
, pois
é o neutro. Concluímos que
isto é,
é o elemento neutro.
Resposta
Mostramos que
é o elemento neutro de
se, e somente se, existe
tal que
.