Sejam u, v, w in R^3 e alpha, beta in R. Se u perp w e v perp w mostre que (alpha u+beta v) perp w

Passo 1

Então, temos três vetores u, v e w no espaço tridimensional R^3, e dois números reais alpha e beta. A gente sabe que u é perpendicular a w ( u perp w) e que v também é perpendicular a w ( v perp w). Nosso objetivo é mostrar que a combinação linear alpha u + beta v também é perpendicular a w. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar e propriedades básicas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem perpendiculares. Quando dois vetores são perpendiculares, o produto escalar deles é igual a zero. Então, se u perp w, isso quer dizer que:
u cdot w = 0
E da mesma forma, se v perp w:
v cdot w = 0

Passo 3

Agora, vamos olhar para a combinação linear alpha u + beta v. Queremos saber se esse vetor também é perpendicular a w. Para isso, vamos calcular o produto escalar entre alpha u + beta v e w:
(alpha u + beta v) cdot w

Passo 4

Usando a propriedade distributiva do produto escalar, a gente pode distribuir o produto sobre a soma:
(alpha u + beta v) cdot w = alpha (u cdot w) + beta (v cdot w)

Passo 5

Lembrando que u cdot w = 0 e v cdot w = 0, substituímos na equação:
alpha (0) + beta (0) = 0 + 0 = 0

Resposta

Portanto, (alpha u + beta v) perp w.

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