Sejam
e
. Se
e
mostre que
Passo 1
Então, temos três vetores
,
e
no espaço tridimensional
, e dois números reais
e
. A gente sabe que
é perpendicular a
(
) e que
também é perpendicular a
(
). Nosso objetivo é mostrar que a combinação linear
também é perpendicular a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar e propriedades básicas de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem perpendiculares. Quando dois vetores são perpendiculares, o produto escalar deles é igual a zero. Então, se
, isso quer dizer que:
E da mesma forma, se
:
Passo 3
Agora, vamos olhar para a combinação linear
. Queremos saber se esse vetor também é perpendicular a
. Para isso, vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Passo 4
Usando a propriedade distributiva do produto escalar, a gente pode distribuir o produto sobre a soma:
Passo 5
Lembrando que
e
, substituímos na equação:
Resposta
Portanto,
.