Sendo u=(1,1,-2) e v=(1,1,1)
(a) Mostre que u e v são ortogonais;
(b) Sabendo-se que o vetor w=(5,5,-1) é coplanar à u e v (ou seja: está no mesmo plano determinado por u e v ), utilize o exercício anterior para calcular alpha e beta reais de modo que w=alpha u+beta v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos lidando com vetores no espaço tridimensional. Primeiro, precisamos mostrar que os vetores u e v são ortogonais, ou seja, que eles são perpendiculares. Depois, vamos encontrar os coeficientes alpha e beta que combinam esses vetores para formar o vetor w.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Para mostrar que dois vetores são ortogonais, a gente calcula o produto escalar deles. Se o produto escalar for zero, os vetores são ortogonais.
O produto escalar de u = (1, 1, -2) e v = (1, 1, 1) é dado por:
u cdot v = (1)(1) + (1)(1) + (-2)(1)

Passo 3

Calculando isso:
u cdot v = 1 + 1 - 2 = 0
Como o produto escalar deu zero, concluímos que u e v são ortogonais. Parte (a) resolvida!

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar alpha e beta tais que:
w = alpha u + beta v
Isso significa que:
(5, 5, -1) = alpha (1, 1, -2) + beta (1, 1, 1)
Vamos separar isso em componentes:
5 = alpha cdot 1 + beta cdot 1 5 = alpha cdot 1 + beta cdot 1 -1 = alpha cdot (-2) + beta cdot 1

Passo 5

Observamos que as duas primeiras equações são iguais:
5 = alpha + beta
E a terceira equação é:
-1 = -2alpha + beta
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
alpha + beta = 5 -2alpha + beta = -1
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar beta:
(-2alpha + beta) - (alpha + beta) = -1 - 5
-3alpha = -6
alpha = 2

Passo 6

Agora que encontramos alpha = 2, substituímos na primeira equação para encontrar beta:
2 + beta = 5
beta = 3

Resposta

Os valores são alpha = 2 e beta = 3.

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