Sendo e
(a) Mostre que e são ortogonais;
(b) Sabendo-se que o vetor é coplanar à e (ou seja: está no mesmo plano determinado por e ), utilize o exercício anterior para calcular e reais de modo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos lidando com vetores no espaço tridimensional. Primeiro, precisamos mostrar que os vetores e são ortogonais, ou seja, que eles são perpendiculares. Depois, vamos encontrar os coeficientes e que combinam esses vetores para formar o vetor .
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Para mostrar que dois vetores são ortogonais, a gente calcula o produto escalar deles. Se o produto escalar for zero, os vetores são ortogonais.
O produto escalar de e é dado por:
Passo 3
Calculando isso:
Como o produto escalar deu zero, concluímos que e são ortogonais. Parte (a) resolvida!
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar e tais que:
Isso significa que:
Vamos separar isso em componentes:
Passo 5
Observamos que as duas primeiras equações são iguais:
5 = alpha + beta
E a terceira equação é:
-1 = -2alpha + beta
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
alpha + beta = 5 -2alpha + beta = -1
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar beta:
(-2alpha + beta) - (alpha + beta) = -1 - 5
-3alpha = -6
alpha = 2
Passo 6
Agora que encontramos alpha = 2, substituímos na primeira equação para encontrar beta: