Seja o tetraedro de base , e e vértice .
Determine o pé da altura relativa a base do tetraedro (interseção do plano com a reta , perpendicular a passando por ), bem como a medida dessa altura.
Passo 1
O enunciado dá um tetraedro de vértice e base com , , .
Queremos o pé da perpendicular de ao plano que contém e a distância . Para isso precisamos
achar a equação de e
projetar ortogonalmente nesse plano.
Passo 2
Definimos os vetores de base
O vetor normal n ao plano beta é dado pelo produto vetorial
n = AB times AC = i & j & k 4 & -4 & 0 3 & -1 & -2 = (8,,8,,8)
Podemos usar n=(1,1,1), pois basta um múltiplo.
Passo 3
A equação de beta com normal (1,1,1) é
x+y+z + d = 0
Para encontrar d, basta usar o ponto A:
(-4)+0+0 + d = 0 Longrightarrow d = 4
Logo
beta:; x+y+z+4=0
Passo 4
O pé H da perpendicular de V ao plano é
H = V - ncdot V + d|n|^2,n
Aqui n=(1,1,1), então
ncdot V + d = 1+1+1+4 = 7, |n|^2 = 1^2+1^2+1^2 = 3
Logo
H = (1,1,1) - 73,(1,1,1) = l(1-tfrac73,,1-tfrac73,,1-tfrac73r) = l(-tfrac43,-tfrac43,-tfrac43r)
Passo 5
A distância h = VH é exatamente o valor da projeção, ou seja