Seja ABCV o tetraedro de base A(-4,0,0), B(0,-4,0) e C(-1,-1,-2) e vértice V(1,1,1).
Determine o pé da altura relativa a base ABC do tetraedro ABCV (interseção do plano beta com a reta r, perpendicular a beta passando por V), bem como a medida h dessa altura.

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro de vértice V(1,1,1) e base ABC com
A(-4,0,0), B(0,-4,0), C(-1,-1,-2).
Queremos o pé H da perpendicular de V ao plano beta que contém A,B,C e a distância h=VH. Para isso precisamos
  1. achar a equação de beta e
  2. projetar ortogonalmente V nesse plano.

Passo 2

Definimos os vetores de base
AB = B - A = (4,-4,0), AC = C - A = (3,-1,-2)
O vetor normal n ao plano beta é dado pelo produto vetorial
n = AB times AC = i & j & k 4 & -4 & 0 3 & -1 & -2 = (8,,8,,8)
Podemos usar n=(1,1,1), pois basta um múltiplo.

Passo 3

A equação de beta com normal (1,1,1) é
x+y+z + d = 0
Para encontrar d, basta usar o ponto A:
(-4)+0+0 + d = 0 Longrightarrow d = 4
Logo
beta:; x+y+z+4=0

Passo 4

O pé H da perpendicular de V ao plano é
H = V - ncdot V + d|n|^2,n
Aqui n=(1,1,1), então
ncdot V + d = 1+1+1+4 = 7, |n|^2 = 1^2+1^2+1^2 = 3
Logo
H = (1,1,1) - 73,(1,1,1) = l(1-tfrac73,,1-tfrac73,,1-tfrac73r) = l(-tfrac43,-tfrac43,-tfrac43r)

Passo 5

A distância h = VH é exatamente o valor da projeção, ou seja
h = l|ncdot V + dr||n| = 7raiz3 = 7raiz33

Resposta

O pé da altura é
Hl(-tfrac43,-,tfrac43,-,tfrac43r)
e o comprimento da altura é
h = 7raiz33

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