Considere a tripla F=(f1, f2, f3) dada pelas seguintes relações:
l f1=e1-e2-e3 f2=e1+2 e2+e3 f3=2 e1+e2+4 e3
Determine as coordenadas do vetor u=3 e1-5 e2+4 e3 na base F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as coordenadas do vetor u = 3e1 - 5e2 + 4e3 na base F. Isso está ligado ao conteúdo de Mudança de Base em Álgebra Linear. Vamos precisar entender como expressar um vetor em uma nova base, ou seja, descobrir quais combinações lineares dos vetores da base F resultam no vetor u.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ter uma base. A base [F) é composta pelos vetores , e , que são dados por:
Queremos encontrar coeficientes e tais que:

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores das fi na equação acima:
3e1 - 5e2 + 4e3 = c1(e1 - e2 - e3) + c2(e1 + 2e2 + e3) + c3(2e1 + e2 + 4e3)

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes c1, c2 e c3:
3e1 - 5e2 + 4e3 = (c1 + c2 + 2c3)e1 + (-c1 + 2c2 + c3)e2 + (-c1 + c2 + 4c3)e3

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira, os coeficientes dos vetores e1, e2 e e3 devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
c1 + c2 + 2c3 = 3 -c1 + 2c2 + c3 = -5 -c1 + c2 + 4c3 = 4

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação, podemos isolar c1:
c1 = 3 - c2 - 2c3
Agora, substituímos esse valor de c1 nas outras duas equações.

Passo 7

Substituindo na segunda equação:
- (3 - c2 - 2c3) + 2c2 + c3 = -5
Distribuindo o sinal negativo:
-3 + c2 + 2c3 + 2c2 + c3 = -5
Somando os termos semelhantes:
3c2 + 3c3 - 3 = -5
Isolando os termos:
3c2 + 3c3 = -2
Dividindo tudo por 3:
c2 + c3 = -23

Passo 8

Agora, substituímos c1 = 3 - c2 - 2c3 na terceira equação:
- (3 - c2 - 2c3) + c2 + 4c3 = 4
Distribuindo o sinal negativo:
-3 + c2 + 2c3 + c2 + 4c3 = 4
Somando os termos semelhantes:
2c2 + 6c3 - 3 = 4
Isolando os termos:
2c2 + 6c3 = 7

Passo 9

Agora temos um sistema menor:
c2 + c3 = -23 2c2 + 6c3 = 7
Podemos resolver o primeiro para c2:
c2 = -23 - c3
Substituindo na segunda equação:
2(-23 - c3) + 6c3 = 7
Distribuindo:
-43 - 2c3 + 6c3 = 7
Somando os termos semelhantes:
4c3 - 43 = 7
Isolando c3:
4c3 = 7 + 43 = 253
c3 = 2512

Passo 10

Com c3 = 2512, substituímos de volta para encontrar c2:
c2 = -23 - 2512 = -812 - 2512 = -3312 = -114

Passo 11

Agora, voltamos para a expressão de c1:
c1 = 3 - c2 - 2c3 = 3 - (-114) - 2(2512)
Simplificando:
c1 = 3 + 114 - 5012 = 3612 + 3312 - 5012 = 1912

Resposta

As coordenadas do vetor u na base F são:
( 1912, -114, 2512 )

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