Suponha R^3 tenha o produto interno euclidiano usual. Em cada um dos itens, utilize o processo de Gram-Schmidt para transformar a base u1, u2, u3 numa base ortonormal.
u1=(1,0,0), u2=(3,7,-2) e u3=(0,4,1)

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt em u1,u2,u3subset R^3 com produto interno usual, de modo a obter uma base ortonormal e1,e2,e3.

Passo 2

Primeiro normalizamos u1=(1,0,0).
|u1|=raiz1^2+0^2+0^2=1
e1=u1|u1|=(1,0,0)

Passo 3

Agora ortogonalizamos u2=(3,7,-2) em relação a e1.
proje1(u2)=lang<= u2,e1rang<=,e1 =l(3cdot1+7cdot0+(-2)cdot0r)(1,0,0)=(3,0,0)
w2 = u2 - proje1(u2) = (3,7,-2)-(3,0,0)=(0,7,-2)
Em seguida normalizamos w2.
|w2|=raiz0^2+7^2+(-2)^2=raiz53
e2=w2|w2| =l(0,7raiz53,-2raiz53r)

Passo 4

Finalmente ortogonalizamos u3=(0,4,1) em relação a e1,e2.
proje1(u3)=lang<= u3,e1rang<=,e1 =l(0cdot1+4cdot0+1cdot0r)(1,0,0)=(0,0,0)
proje2(u3)=lang<= u3,e2rang<=,e2 =0cdot0+4cdot7+1cdot(-2)raiz53;e2 =26raiz53;e2
w3 = u3 - proje1(u3) - proje2(u3) =(0,4,1)-26raiz53l(0,tfrac7raiz53,-tfrac2raiz53r) =(0,tfrac3053,tfrac10553)
Fatorando w3=tfrac1553(0,2,7), sua norma é
|w3|=1553raiz0^2+2^2+7^2=15raiz5353
e3=w3|w3| =tfrac1553(0,2,7)tfrac15raiz5353 =l(0,2raiz53,7raiz53r)

Resposta

e1=(1,0,0), e2=l(0,tfrac7raiz53,-tfrac2raiz53r), e3=l(0,tfrac2raiz53,tfrac7raiz53r)

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