Ok, vamos lá! A gente tem um conjunto de três vetores f1, f2, f3 no espaço tridimensional V^3 . O objetivo é mostrar que esse conjunto forma uma base de V^3 . Para isso, precisamos entender dois conceitos principais da álgebra linear: independência linear e espaço gerado. Basicamente, vamos verificar se esses vetores são suficientes para “preencher” todo o espaço V^3 sem depender um do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os vetores f1, f2, f3 em termos das bases padrão e1, e2, e3 :
Agora, vamos montar uma matriz cujas colunas são esses vetores:
A = 1 & 1 & 2 -1 & 2 & 1 -1 & 1 & 4
Passo 3
Para verificar se os vetores são lineares e formam uma base, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são lineares independentes e, portanto, formam uma base de V^3 .
Como o determinante det(A) = 12 é diferente de zero, isso significa que a matriz A é invertível. Portanto, os vetores f1, f2, f3 são linearmente independentes e geram todo o espaço V^3 .