Considere a tripla F=(f1, f2, f3) dada pelas seguintes relações:
l f1=e1-e2-e3 f2=e1+2 e2+e3 f3=2 e1+e2+4 e3
Mostre que F é uma base de V^3.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem um conjunto de três vetores f1, f2, f3 no espaço tridimensional V^3 . O objetivo é mostrar que esse conjunto forma uma base de V^3 . Para isso, precisamos entender dois conceitos principais da álgebra linear: independência linear e espaço gerado. Basicamente, vamos verificar se esses vetores são suficientes para “preencher” todo o espaço V^3 sem depender um do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores f1, f2, f3 em termos das bases padrão e1, e2, e3 :
f1 = e1 - e2 - e3 f2 = e1 + 2e2 + e3 f3 = 2e1 + e2 + 4e3
Agora, vamos montar uma matriz cujas colunas são esses vetores:
A = 1 & 1 & 2 -1 & 2 & 1 -1 & 1 & 4

Passo 3

Para verificar se os vetores são lineares e formam uma base, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são lineares independentes e, portanto, formam uma base de V^3 .
Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = 1 cdot (2 cdot 4 - 1 cdot 1) - 1 cdot (-1 cdot 4 - 1 cdot (-1)) + 2 cdot (-1 cdot 1 - 2 cdot (-1))
Simplificando cada parte:
det(A) = 1 cdot (8 - 1) - 1 cdot (-4 + 1) + 2 cdot (-1 + 2)
det(A) = 1 cdot 7 - 1 cdot (-3) + 2 cdot 1
det(A) = 7 + 3 + 2 = 12

Passo 4

Como o determinante det(A) = 12 é diferente de zero, isso significa que a matriz A é invertível. Portanto, os vetores f1, f2, f3 são linearmente independentes e geram todo o espaço V^3 .

Resposta

O conjunto F = (f1, f2, f3) é uma base de V^3 .

Exercícios relacionados