Encontre a matriz de mudança de base, da base E=(e1, e2, e3) para a base F=(f1, f2, f3).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz de mudança de base da base E = (e1, e2, e3) para a base F = (f1, f2, f3) . Basicamente, isso significa que vamos descobrir como transformar as coordenadas de um vetor da base E para a base F. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as coordenadas dos vetores da base [F) em termos da base . As relações dadas são:
Isso significa que podemos representar cada .
Passo 3
Agora, vamos formar uma matriz cujas colunas são os vetores f1, f2, f3 escritos em termos de e1, e2, e3 . Assim, temos:
M = 1 & 1 & 2 -1 & 2 & 1 -1 & 1 & 4
Essa matriz M representa as coordenadas dos vetores da base F na base E .
Passo 4
Para encontrar a matriz de mudança de base de E para F , precisamos encontrar a matriz inversa de M , ou seja, M^-1 . A matriz inversa nos permite converter coordenadas da base E para a base F .
Vamos calcular a inversa de M :
M = 1 & 1 & 2 -1 & 2 & 1 -1 & 1 & 4
Primeiro, vamos calcular o determinante de M :
det(M) = 1 times (2 times 4 - 1 times 1) - 1 times (-1 times 4 - 1 times -1) + 2 times (-1 times 1 - 2 times -1) = 1 times (8 - 1) - 1 times (-4 + 1) + 2 times (-1 + 2) = 7 + 3 + 2 = 12
Como o determinante é diferente de zero, a matriz M é invertível.
Passo 5
Agora, vamos calcular a matriz adjunta de M e, em seguida, a inversa M^-1 :
Primeiro, encontramos a matriz dos cofatores:
Cof(M) = (2 times 4 - 1 times 1) & - ( -1 times 4 - 1 times -1 ) & ( -1 times 1 - 2 times -1 ) - (1 times 4 - 2 times 1) & (1 times 4 - 2 times -1) & - (1 times 1 - 2 times -1) (1 times 1 - 2 times 2) & - (1 times 1 - (-1) times 2) & (1 times 2 - (-1) times 1) = 7 & 3 & 1 -2 & 6 & -3 -3 & -3 & 3
A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores: