Considere a tripla F=(f1, f2, f3) dada pelas seguintes relações:
l f1=e1-e2-e3 f2=e1+2 e2+e3 f3=2 e1+e2+4 e3
Encontre a matriz de mudança de base, da base E=(e1, e2, e3) para a base F=(f1, f2, f3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz de mudança de base da base E = (e1, e2, e3) para a base F = (f1, f2, f3) . Basicamente, isso significa que vamos descobrir como transformar as coordenadas de um vetor da base E para a base F. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as coordenadas dos vetores da base [F) em termos da base . As relações dadas são:
Isso significa que podemos representar cada .

Passo 3

Agora, vamos formar uma matriz cujas colunas são os vetores f1, f2, f3 escritos em termos de e1, e2, e3 . Assim, temos:
M = 1 & 1 & 2 -1 & 2 & 1 -1 & 1 & 4
Essa matriz M representa as coordenadas dos vetores da base F na base E .

Passo 4

Para encontrar a matriz de mudança de base de E para F , precisamos encontrar a matriz inversa de M , ou seja, M^-1 . A matriz inversa nos permite converter coordenadas da base E para a base F .
Vamos calcular a inversa de M :
M = 1 & 1 & 2 -1 & 2 & 1 -1 & 1 & 4
Primeiro, vamos calcular o determinante de M :
det(M) = 1 times (2 times 4 - 1 times 1) - 1 times (-1 times 4 - 1 times -1) + 2 times (-1 times 1 - 2 times -1) = 1 times (8 - 1) - 1 times (-4 + 1) + 2 times (-1 + 2) = 7 + 3 + 2 = 12
Como o determinante é diferente de zero, a matriz M é invertível.

Passo 5

Agora, vamos calcular a matriz adjunta de M e, em seguida, a inversa M^-1 :
Primeiro, encontramos a matriz dos cofatores:
Cof(M) = (2 times 4 - 1 times 1) & - ( -1 times 4 - 1 times -1 ) & ( -1 times 1 - 2 times -1 ) - (1 times 4 - 2 times 1) & (1 times 4 - 2 times -1) & - (1 times 1 - 2 times -1) (1 times 1 - 2 times 2) & - (1 times 1 - (-1) times 2) & (1 times 2 - (-1) times 1) = 7 & 3 & 1 -2 & 6 & -3 -3 & -3 & 3
A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
Adj(M) = 7 & -2 & -3 3 & 6 & -3 1 & -3 & 3
Finalmente, a inversa de M é dada por:
M^-1 = 1det(M) times Adj(M) = 112 times 7 & -2 & -3 3 & 6 & -3 1 & -3 & 3 = 712 & -16 & -14 14 & 12 & -14 112 & -14 & 14

Resposta

A matriz de mudança de base de E para F é:
M^-1 = 712 & -16 & -14 14 & 12 & -14 112 & -14 & 14

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