Determine os valores de a, b, c in R, sabendo que (5,4,2)F=(3,1,0)E e que a matriz de mudança de base MFE é dada por:
MFE=[ccc 1 & a & 2 b & 1 & 1 0 & c & 4 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor com coordenadas diferentes em duas bases, F e E . O problema quer que a gente descubra os valores de a , b e c na matriz de mudança de base MFE . Para resolver isso, vamos usar conceitos de mudança de base e álgebra de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a expressão (5,4,2)F = (3,1,0)E. Isso quer dizer que o mesmo vetor, quando representado na base F , tem coordenadas (5,4,2) , e na base E , tem coordenadas (3,1,0) .

Passo 3

A matriz de mudança de base MFE transforma coordenadas da base E para a base F . Então, se a gente tem as coordenadas na base E , a gente multiplica pela matriz MFE para achar as coordenadas na base F . Matematicamente, isso fica assim:
[F] = MFE cdot [E]
Onde [F] = 5 4 2 e [E] = 3 1 0.

Passo 4

Vamos escrever a matriz MFE :
MFE = 1 & a & 2 b & 1 & 1 0 & c & 4
E multiplicar essa matriz pelo vetor [E]:
1 & a & 2 b & 1 & 1 0 & c & 4 3 1 0 = 1 cdot 3 + a cdot 1 + 2 cdot 0 b cdot 3 + 1 cdot 1 + 1 cdot 0 0 cdot 3 + c cdot 1 + 4 cdot 0 = 3 + a 3b + 1 c

Passo 5

Sabemos que esse resultado deve ser igual a [F] = 5 4 2. Então, temos o sistema de equações:
3 + a = 5 3b + 1 = 4 c = 2

Passo 6

Vamos resolver cada equação:
  1. 3 + a = 5
    Rightarrow a = 5 - 3
    Rightarrow a = 2
  2. 3b + 1 = 4
    Rightarrow 3b = 4 - 1
    Rightarrow 3b = 3
    Rightarrow b = 1
  3. c = 2
    Rightarrow c = 2

Resposta

Os valores são a = 2 , b = 1 e c = 2 .

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