Considere um tronco de pirâmide regular de base quadrada cuja área da base maior é igual à da face de um cubo de 12 cm de aresta. Sabendo que a área da base menor do tronco é 4 \mathrm{~cm}^{2} e que o cubo e o tronco têm a mesma altura, calcule a área total do tronco de pirâmide.

Passo 1

O enunciado descreve um tronco de pirâmide regular de base quadrada cuja área da base maior é igual à área de uma face de cubo de aresta 12, \text{cm}. A área da base menor é 4, \text{cm}^2 e a altura do tronco é igual à altura do cubo, isto é, 12, \text{cm}. Queremos calcular a área total do tronco, dada por
A_{\text{total}} = A_1 + A_2 + A_{\text{lateral}},
onde A_1 e A_2 são as áreas das bases e A_{\text{lateral}} é a área das quatro faces laterais.

Passo 2

Do enunciado temos
A_1 = \text{área da base maior} = (\text{aresta maior})^2 = 144\quad\text{e}\quad A_2 = \text{área da base menor} = (\text{aresta menor})^2 = 4.áá
Logo as arestas das bases são
a = \sqrt{A_1} = 12,\quad b = \sqrt{A_2} = 2.

Passo 3

Para calcular a área lateral precisamos da geratriz l, que em tronco de pirâmide regular de base quadrada satisfaz
l = \sqrt{h^2 + \biggl(\frac{a - b}{2}\biggr)^2}.
Substituindo h=12, a=12 e b=2, temos
l = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = 13.

Passo 4

Cada face lateral é um trapézio isósceles de bases a e b e geratriz l. A área de um trapézio é
A_{\text{trap}} = \frac{a + b}{2}\,l = \frac{12 + 2}{2}\cdot 13 = 7\cdot 13 = 91.
Como há quatro faces,
A_{\text{lateral}} = 4 \times 91 = 364.

Passo 5

Agora somamos as áreas das duas bases e da lateral:
A_{\text{total}} = A_1 + A_2 + A_{\text{lateral}} = 144 + 4 + 364 = 512\;\text{cm}^2.

Resposta

512\;\text{cm}^2

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