Utilizando o método de substituição resolva a integral \int \frac{1}{\sqrt{u}} \operatorname{sen} \sqrt{u} d u. Derive a função obtida para verificar se o resultado está correto.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{\sqrt{u}}\sin(\sqrt{u})\,du
usando o método de substituição, e depois verificar o resultado derivando a antiderivada. Vamos usar mudança de variável para eliminar a raiz.

Passo 2

Escolhemos a substituição
t = \sqrt{u}.
Então u = t^2 e, ao derivar,
du = 2t\,dt.

Passo 3

Reescrevendo cada parte em termos de t:
– o fator \tfrac1{\sqrt{u}} vira \tfrac1t,
– o \sin(\sqrt{u}) vira \sin(t),
– e du vira 2t\,dt.
Logo,
\int \frac{1}{\sqrt{u}}\sin(\sqrt{u})\,du = \int \frac{1}{t}\,\sin(t)\,\bigl(2t\,dt\bigr) = \int 2\,\sin(t)\,dt.

Passo 4

Agora integramos em t:
\int 2\,\sin(t)\,dt = -2\cos(t) + C.

Passo 5

Voltando à variável original \,t=\sqrt{u}, a antiderivada fica
F(u) = -2\cos\bigl(\sqrt{u}\bigr) + C.

Passo 6

Para checar, derivamos F(u) e aplicamos a regra da cadeia:
F'(u) = \frac{d}{du}\bigl[-2\cos(\sqrt{u})\bigr] = -2\bigl(-\sin(\sqrt{u})\bigr)\cdot\frac{d}{du}(\sqrt{u}) = 2\,\sin(\sqrt{u})\cdot\frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{\sin(\sqrt{u})}{\sqrt{u}},
que coincide com o integrando original.

Resposta

-2\cos\bigl(\sqrt{u}\bigr)+C.

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