Considere um tubo circular com diâmetro e comprimento , com uma vazão mássica .
(a) Para condições de fluxo térmico constante, deduza uma expressão para a razão entre a diferença de temperaturas entre a parede do tubo na sua saída e a temperatura de entrada, , e a taxa total de transferência de calor para o fluido, . Represente o seu resultado em termos de , do número de Nusselt local na saída do tubo, , e das propriedades relevantes do fluido.
(b) Repita a parte (a) para condições de temperatura na superfície constante. Represente seus resultados em termos de , do número de Nusselt médio da entrada à saída do tubo, , e das propriedades relevantes do fluido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tubo circular com diâmetro $ D $, comprimento $ L $ e uma vazão mássica $ \dot{m} D êúú \mathrm{Nu} $) e como relacioná-los com propriedades do fluido como condutividade térmica, capacidade térmica, etc.
Passo 2
Parte (a): Condições de Fluxo Térmico Constante
Primeiro, vamos focar na parte (a), que fala sobre condições de fluxo térmico constante. Isso significa que a quantidade de calor transferida por unidade de área na parede do tubo é constante ao longo do comprimento $ L $.
Vamos expressar a taxa total de transferência de calor $ q $ para o fluido. Sabemos que:
L
Aqui, $ \dot{m} $ é a vazão mássica, $ c_p $ é a capacidade térmica específica do fluido, $ T_{s}(L) $ é a temperatura na parede na saída, e $ T_{ment} $ é a temperatura de entrada.
Passo 3
Agora, vamos relacionar essa equação com o número de Nusselt local na saída do tubo, $ \mathrm{Nu}_D(x=L) $. O número de Nusselt é definido como:
NuD(x=L)
Onde:
$ h $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
$ D $ é o diâmetro do tubo,
$ k $ é a condutividade térmica do fluido.
Rearranjando para encontrar $ h $:
Nu = h Dk
Passo 4
A taxa de transferência de calor $ q $ também pode ser expressa em termos do coeficiente $ h $:
q
Onde:
$ A $ é a área de transferência de calor,
$ \Delta T = T_{s}(L) - T_{ment} $.
A área $ A $ de um tubo circular é:
h
Substituindo $ h $ e $ A $ na equação de $ q $:
q = h A De
Simplificando:
A
Passo 5
Agora, igualamos as duas expressões para $ q $:
q
Podemos cancelar $ (T_{s}(L) - T_{ment}) $ dos dois lados (desde que seja diferente de zero):
dotm cp (Ts(L) - Tment) = pi NuD(x=L) k L (Ts(L) - Tment)
Agora, resolvemos para $ (T_{s}(L) - T_{ment}) $:
(Ts(L) - Tment)
Simplificando:
dotm cp = pi NuD(x=L) k L
Resposta
A razão entre a diferença de temperaturas $ T_{s}(x=L) - T_{ment} $ e a taxa total de transferência de calor $ q $ é dada por: