Tem-se três fluidos A, B e C, cujas as velocidades tem as seguintes componentes, em coordenadas retangulares:
Fluido A: ux=2 y+3 z ; uy=2 x-1 ; uz=x^2+4
Fluido B : ux=2 cos x-5 ; uy=y sen x-x z ; uz=3 y^3+z sen x
Fluido C : ux=x+y+z ; uy=e^y ; uz=z-e^z
Pergunta-se: Quais fluidos são incompressíveis?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três fluidos, A, B e C, cada um com suas próprias velocidades nas direções x, y e z. A pergunta é: quais desses fluidos são incompressíveis? Para descobrir isso, vamos precisar entender o que significa um fluido ser incompressível e usar a matemática para verificar isso para cada um dos fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um fluido incompressível. Um fluido é considerado incompressível quando sua densidade não muda com o tempo. Na prática, isso significa que a divergência do campo de velocidade dele é igual a zero. A divergência é uma operação matemática que, no caso de coordenadas retangulares, é calculada assim:
nabla cdot u = partial uxpartial x + partial uypartial y + partial uzpartial z
Se essa soma der zero, o fluido é incompressível.

Passo 3

Vamos calcular a divergência para cada fluido.
Fluido A:
ux = 2y + 3z uy = 2x - 1 uz = x^2 + 4
Calculando as derivadas parciais:
partial uxpartial x = 0 (pois não tem x) partial uypartial y = 0 (não tem y) partial uzpartial z = 0 (não tem z) ããã
Então, a divergência:
nabla cdot uA = 0 + 0 + 0 = 0
Como a divergência é zero, o fluido A é incompressível.

Passo 4

Fluido B:
ux = 2 cos x - 5 uy = y sin x - x z uz = 3 y^3 + z sin x
Calculando as derivadas parciais:
partial uxpartial x = -2 sin x partial uypartial y = sin x partial uzpartial z = sin x + 1
Então, a divergência:
nabla cdot uB = -2 sin x + sin x + (sin x + 1) = (-2 sin x + sin x + sin x) + 1 = 0 + 1 = 1
Como a divergência não é zero, o fluido B é compressível.

Passo 5

Fluido C:
ux = x + y + z uy = e^y uz = z - e^z
Calculando as derivadas parciais:
partial uxpartial x = 1 partial uypartial y = e^y partial uzpartial z = 1 - e^z
Então, a divergência:
nabla cdot uC = 1 + e^y + (1 - e^z) = 2 + e^y - e^z
Para que a divergência seja zero:
2 + e^y - e^z = 0 implies e^y - e^z = -2
Isso não é válido para valores reais de $ y $ e $ z $, já que $ e^{y} $ e $ e^{z} $ são sempre positivos. Portanto, a divergência nunca é zero para o fluido C.

Resposta

Apenas o fluido A é incompressível.

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