Tem-se três fluidos
e
, cujas as velocidades tem as seguintes componentes, em coordenadas retangulares:
Fluido
Fluido
:
Fluido
:
Pergunta-se: Quais fluidos são incompressíveis?
Fluido
Fluido
Fluido
Pergunta-se: Quais fluidos são incompressíveis?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três fluidos, A, B e C, cada um com suas próprias velocidades nas direções x, y e z. A pergunta é: quais desses fluidos são incompressíveis? Para descobrir isso, vamos precisar entender o que significa um fluido ser incompressível e usar a matemática para verificar isso para cada um dos fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um fluido incompressível. Um fluido é considerado incompressível quando sua densidade não muda com o tempo. Na prática, isso significa que a divergência do campo de velocidade dele é igual a zero. A divergência é uma operação matemática que, no caso de coordenadas retangulares, é calculada assim:
Se essa soma der zero, o fluido é incompressível.
Passo 3
Vamos calcular a divergência para cada fluido.
Fluido A:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência:
Como a divergência é zero, o fluido A é incompressível.
Passo 4
Fluido B:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência:
Como a divergência não é zero, o fluido B é compressível.
Passo 5
Fluido C:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência:
Para que a divergência seja zero:
Isso não é válido para valores reais de $ y $ e $ z $, já que $ e^{y} $ e $ e^{z} $ são sempre positivos. Portanto, a divergência nunca é zero para o fluido C.
Resposta
Apenas o fluido A é incompressível.