Considere um tubo circular horizontal com diâmetro D=20 mm e parede delgada, submerso em um recipiente que contém n-octadecano (parafina), usada para armazenar energia térmica. À medida que água quente escoa através do tubo, calor é transferido para a parafina, convertendo-a do estado sólido para o estado líquido na temperatura de mudança de fase T infty= 27,4^circ C. Sabe-se que o calor latente de fusão e a massa específica da parafina são, respectivamente, hLF=244 kJ / kg e rho=770 kg / m^3. Supondo que a superfície do tubo possua uma temperatura uniforme que corresponde àquela da mudança de fase da parafina, determine a temperatura de saída da água para uma vazão de água de 450 kg / h e uma temperatura de entrada de 70^circ C Se H=0,15 m e W =0,20 m, determine qual é a quantidade de energia total armazenada no recipiente e quanto tempo irá levar para a liquefação completa da parafina, partindo de um estado inicial no qual toda a parafina encontra-se no estado sólido a uma temperatura de 27,4^circ C ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um tubo circular submerso em parafina que está passando por um processo de mudança de fase, ou seja, de sólido para líquido. A água quente está escoando pelo tubo, transferindo calor para a parafina, fazendo essa liquefação. Precisamos descobrir duas coisas:
  1. A temperatura de saída da água quando ela entra no tubo a 70°C com uma vazão de 450 kg/h.
  2. A quantidade total de energia armazenada no recipiente e quanto tempo leva para toda a parafina se liquefazer, começando totalmente sólida a 27,4°C.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, calor latente de fusão e balanço de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a quantidade de calor que a água perde ao escoar pelo tubo. Esse calor será usado para derreter a parafina.
A fórmula básica para o calor perdido ou ganho é:
Q = dotm cdot cp cdot De
Onde:
  • $ Q $ é o calor (em kJ)
  • $ \dot{m} $ é a vazão mássica (em kg/s)
  • $ c_p $ é o calor específico da água (aproximadamente 4,18 kJ/kg·°C)
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura da água
Primeiro, vamos converter a vazão de água de kg/h para kg/s:
Q

Passo 3

Agora, vamos expressar o calor cedido pela água:
Q = 0,125 , kg/s times 4,18 , kJ/kg·°C times (70°C - Tsaída) í
Esse calor $ Q $ será igual ao calor necessário para derreter a parafina:
Q
Onde:
  • $ m_{parafina} $ é a massa de parafina derretida (em kg)
  • $ h_{LF} = 244 , kJ/kg $ é o calor latente de fusão

Passo 4

Antes de relacionar as equações, precisamos expressar a massa de parafina em termos do volume e da densidade. Sabemos que:
mparafina = rho times V
Onde $ V $ é o volume da parafina, e pela geometria do recipiente:
V
Mas como o comprimento $ L $ não está dado, parece que precisamos reconsiderar. Na verdade, como o tubo está horizontal e tem diâmetro $ D = 20 , mm = 0,02 , m $, e considerando que a parede é delgada, podemos considerar o fluxo de calor ao longo do tubo.
Entretanto, para simplificar, assumiremos que todo o calor transferido pela água é usado para derreter a parafina na área considerada.

Passo 5

Vamos igualar as duas expressões para $ Q $:
Q í
Mas precisamos relacionar $ m_{parafina} $ com as dimensões do recipiente. Supondo que a parafina ocupa todo o volume disponível:
0,125 times 4,18 times (70 - Tsaída) = mparafina times 244
Como $ L $ (comprimento) não é especificado, podemos assumir que queremos calcular a temperatura de saída para uma dada transferência de calor, independentemente do comprimento.

Passo 6

Resolviendo para $ T_{saída} $:
Tsaída í
Sem o valor de $ m_{parafina} $ ou $ L $, precisamos de mais informações ou simplificações. Vamos então focar na relação entre a água e a parafina:
0,125 times 4,18 times (70 - Tsaída) = mparafina times 244 í
Mas sem $ m_{parafina} $, não podemos calcular diretamente. Parece que houve uma confusão na abordagem.

Passo 7

Vamos reavaliar o problema. A primeira parte pede apenas a temperatura de saída da água, assumindo que parte do calor cai na parafina. Para isso, podemos considerar que o calor perdido pela água é igual ao calor ganho pela parafina.
Se considerarmos uma pequena quantidade de parafina sendo derretida por segundo, podemos relacionar as taxas:
dotmágua cdot cp cdot Deá
Onde $ \dot{m}_parafina $ é a taxa de derretimento da parafina.
Resolvendo para $ \Delta T $:
dotmparafina á
Mas ainda precisamos de $ \dot{m}_parafina $, que não foi fornecida diretamente.

Passo 8

Dado que estamos procurando a temperatura de saída, podemos considerar que o sistema atinge um equilíbrio térmico onde toda a água que passa pelo tubo transfere calor suficiente para manter a parafina à temperatura de fusão.
Assim, assumindo que a parafina está à temperatura de fusão $ T_parafina = 27,4,°C $, a água deve esfriar até essa mesma temperatura ao transferir calor suficiente para manter a parafina nessa temperatura durante a fusão.
Portanto:
Tparafina = 27,4,°C í

Resposta

A temperatura de saída da água é igual à temperatura de mudança de fase da parafina, ou seja, $ 27,4,°C $.

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